1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2019-2020学年选修2-2第二章训练卷推理与证明（一）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要求的)1如果两个数之和为正数，则这两个数（ ）A一个是正数，一个是负数B都是正数C不可能有负数D至少有一个是正数【答案】D【解析】两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一，还可以是两正，但不可能为两负2由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中三棱锥的内切球的球心到四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A归纳推理B类比推理C演绎推理D非上述答案【答案】B【解析】从二维类比三维，对应元素发生改变：边对应面，内切圆对应内切球3用分析法证明：欲使，只需，这里是的（ ）A必要条件B充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以是的必要条件4观察
3、下列各式：，的特点，则为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题观察可发现，后一个式子的值为它前两个式子的和，所以，5用反证法证明“，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容是（ ）A不能被整除B不能被整除C，都不能被整除D以上都不正确【答案】C【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证故应假设“，都不能被整除”6用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（ ）ABCD【答案】D【解析】由到时，左边需要添加的项是7已知，则正确的结论是（ ）ABCD、大小不定【答案】B【解析】如果，则，显然上式不成立，故不成立，8两旅客坐火车外出旅游，希望
4、座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符号要求的应当是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】由已知图中座位的排序规律可知，被除余的和能被整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的组座位号知，只有D项符合条件9已知“整数对”按如下规律排列，则第个“整数对”为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是10已知点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的上方，因此有结论成立，运用类比的思想可知，若点，是函数（）的图像上任意不同两点，
5、则类似地有下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】点，是函数（）的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段总是位于，两点之间函数图像的下方，11幻方是中国古代的填数游戏，（，）阶幻方指的是连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等古籍周易本义中的“洛书”记载了一个阶幻方（如左图），即现在的右图若某阶幻方正中间的数是，则该幻方中的最小数为（ ）ABCD【答案】A【解析】若阶幻方正中间的数是，根据题意可知，是这个连续正整数的正中间的数，所以这个正整数为：，所以该幻方中的最小数为12在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成
6、正三角形（如图1所示），则三角形数的一般表达式（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时，猜想：二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13若，则当时，是 （不用计算结果）【答案】【解析】由题意得，当时，14在等差数列中，若，则有等式（，）成立类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有 等式成立【答案】（，）【解析】这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比，在等差数列的前项中，其中间项，则，即，又，相似地，在等比数列的前项中，为其中间项，则可得（，）15有一个游戏，将标有数字，的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、
7、丁个人，每人一张，并请这个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有的卡片；乙说：甲或丙拿到标有的卡片；丙说：标有的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有的卡片结果显示：甲、乙、丙、丁个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为 【答案】，【解析】由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有的卡片，故丙拿到标有的卡片，即甲、乙、丙、丁个人拿到卡片上的数字依次为，16对，定义运算：，则下列判断正确的是 （填序号即可）；【答案】【解析】对于，由定义的运算可知，故，故错误；对于，因为，故，故正确；对于，当时，故，而
8、，故，显然，若，则，所以，若，则，所以，故故错误三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17（10分）先解答（1），再通过结构类比解答（2）（1）求证：；（2）设，为非零常数，且，试问：是周期函数吗？请证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）是周期函数，证明见解析【解析】（1），即（2）猜想是以为周期的周期函数证明过程如下：，是以为周期的周期函数，故是周期函数，其中一个周期为18（12分）实数，满足，求证：，中至少有一个是负数【答案】证明见解析【解析】假设实数，都是非负数，则，这与矛盾，所以假设不成立，故，中至少有一个是负数19（12分）已知的三边，
9、的倒数成等差数列，证明：为锐角【答案】证明见解析【解析】要证明为锐角，只需证，又，只需证明，即，（当且仅当时等号成立）只需证明，由已知得，即，只需证明，即只需证明，而已知，为的三边，即成立，为锐角20（12分）设，均为正数，且，证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由，（当且仅当时等号成立）得，由题设得，即，所以，即（2）因为，（当且仅当时等号成立）故，即，所以21（12分）已知椭圆具有以下性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，那么与之积是与点的位置无关的定值试对双曲线写出类似的性质，并加以证明【答案】见解析【解析】类似的性质为：若、是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，若直线、的斜率都存在，并记为、，那么与之积是与点的位置无关的定值证明如下：设点、的坐标为、，则点在已知双曲线上，同理，则（定值）22（12分）已知数列满足，试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】见解析【解析】由，得，故，猜想：以下用数学归纳法证明猜想正确（1）当时，猜想正确；（2）假设当时，猜想正确，即，则当时，即时猜想正确，故数列的通项公式是