1、平谷区20192020学年度第二学期质量监控试卷高二数学第卷选择题（共40分）、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法法则运算化简，再求出的坐标即可【详解】，复数对应的点的坐标是故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2. 抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程得，求出，即得结论【详解】抛物线中，即，
2、 所以焦点到准线的距离是故选B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程是，焦点坐标是焦点到准线的距离为本题属于基础题3. 已知等差数列中那么（ ）A. 17B. 9C. 10D. 24【答案】B【解析】【分析】由得到等差数列的公差，把首项和公差代入即可得到答案.【详解】设等差数列的公差为，故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，要熟练掌握.4. 已知直线与圆相切，那么a的值为（ ）A. 3或1B. C. 3或7D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知，根据圆心到直线的距离等于半径，列出等式，即可求出结果.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，又直线与圆相切，所以,所以或
3、.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.5. 已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)在上单调递减B. 函数f（x）有三个零点C. 当x0时，函数f（x）取得最大值D. 当x0时，函数f（x）取得极大值【答案】D【解析】【分析】由导函数的图象判断出导函数的符号；根据导函数的符号与函数的单调性的关系判断出函数的单调性，并得出极值与最值情况【详解】由函数的导函数的图象，可知时，函数是增函数，时，函数是减函数，时，函数是增函数，可得A错；则时，函数取得极大值，但不是最大值，D对C错；时，函数取得极小
4、值由导函数图象无法判断极大值与极小值的大小，故函数零点个数无法确定，B错故选：【点睛】本题考查函数的单调性、函数的极值、最值及零点的判断，考查数形结合以及计算能力6. 已知数列的前n项和为，则（ ）A. 48B. 32C. 24D. 8【答案】C【解析】【分析】直接根据数列项和前项和与项之间的关系求解即可【详解】数列的前项和为，则，故选：【点睛】本题主要考查数列的项和前项和与项之间的关系，属于基础题7. 设函数，则f(x)是（ ）A. 有一个零点的增函数B. 有一个零点的减函数C. 有二个零点的增函数D. 没有零点的减函数【答案】A【解析】【分析】求导，由导数与单调性的关系判断增减性，利用零点
5、存在定理判断零点所在区间，结合单调性即可判断零点个数【详解】，则，所以函数是定义域为上的连续的增函数，又，零点存在定理可得在上存在唯一零点故选：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数零点的判定定理，属于基础题8. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A
6、. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错
7、误,符合题意.第卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9. 已知复数，那么_【答案】【解析】【分析】先根据复数的除法运算对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解【详解】因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及模长的求解，属于基础试题10. 已知直线与直线互相垂直，那么b_【答案】2【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质能求出【详解】直线与直线互相垂直，解得故答案为：2【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11. 已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0）
8、，那么其渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】设双曲线的焦距为，由已知条件即可知的值，再根据即可求出的值，进而求出结果.【详解】设双曲线的焦距为，由题意可知，所以，所以双曲线渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，以及双曲线的几何性质，属于基础题.12. 已知等差数列中，等比数列中， ，那么数列的前4项和_【答案】320【解析】【分析】先求出等差数列的通项公式，即可求出，即可得通项，再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为，则，解得 ， ，所以，所以数列的公比为 ，所以.故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通
9、项公式，属于基础题.13. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可【详解】如图，由抛物线方程，得抛物线的焦点坐标，即双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为不妨取，化为一般式：则，即，又，联立解得：，则双曲线的离心率为：故答案为：2【点睛】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题14. 日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，
10、所需净化费用不断增加已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是_元/t【答案】40.15【解析】【分析】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出水净化到纯净度为时所需费用函数的导数，即可算出结果【详解】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为所以，又因为，所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元，故答案为：40.15【点睛】本题考查函数的导数的实际意义，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知函数 （）求曲线在点(1，f(
11、1)处的切线方程；（）求函数f（x）在2，2上的最大值和最小值【答案】（）；（），.【解析】【分析】（）求出函数的导数，计算（1），（1）的值，利用点斜式求出切线方程即可；（）求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点处函数值，比较大小求出最值即可【详解】，的定义域是，（），故（1），（1），故切线方程是：，即；（），令，解得：或，令，解得：，故在，递增，在递减，在，递增，而，（2），故（2），【点睛】本题考查了求函数的切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，是一道常规题16. 设是等差数列的前n项和，_（）求数列的通项公式；（）求数列的前n项和的最值从中任选一个，补充在上面的问题中并作答（注
12、：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（）答案见解析；（）答案见解析.【解析】【分析】（）设等差数列的公差，由题设条件求出首项与公差，即可求得；（）由（）中求得的判断出数列的项的符号，即可求得的最值【详解】选：（）设等差数列的公差，由题设知：，解之得：，；（）由（）知：，数列递增数列，选：（）设等差数列的公差，由题设知：，；（）由（）知：，令，故选：（）设等差数列的公差，由题设知：，解得，；（）由（）知：，令，故【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算及其前项和的最值的求法，属于中档题17. 已知椭圆的离心率为，过点（）求椭圆C的标准方程；（）设左、右焦点分别为，经过右焦点F
13、2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据椭圆离心率和过点，再结合 ，可求出，的值，可得椭圆C的标准方程 （）分情况讨论直线斜率不存在与存在两种情况，当斜率存在时设:，、，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系可得、，将转化为，用坐标表示，将、代入，即可得的值，进而可得直线l方程.【详解】（），且过点.， 椭圆的标准方程为：； （）当斜率不存在时，设:，得显然不满足条件. 当斜率存在时设:，、联立整理得：，因为，所以即： 整理得 化简：直线方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆相交求直线的方程，涉及向量垂直数量积为0，
14、属于中档题.18. 已知函数（）若函数f(x)在xe处取得极值，求a的值；（）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围【答案】（）0；（） 【解析】【分析】（）由题意可得（e），代入即可求解；（）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数求得的范围，即可求得的取值范围【详解】（）函数，则，由函数在处取得极值，可得（e），解得经检验，符合题意.（）若对所有，都有，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，在上，函数单调递减，所以（1），所以故实数的取值范围是，【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，属于中档题19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足（）求椭圆C
15、的方程；（）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）运用椭圆的定义和满足椭圆方程，解方程可得，即可得到所求椭圆方程；（）设，求得直线的方程，可得的横坐标，同理可得的横坐标，结合点满足椭圆方程，化简整理可得定值【详解】（）由椭圆上一点满足，可得，即，且，所以，故椭圆的方程为；（）证明：因为，关于轴对称，所以可设，则，可得直线的方程为，令，可得的横坐标为，同理可得的横坐标为，所以，因为，所以，可得为定值【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及定值问题，考查方
16、程思想和化简运算能力，属于难题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20. 定义首项为1，且公比为正数的等比数列为M数列”（）已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；（）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是M数列；（）在（）的条件下，若存在M数列”，对于任意正整数k，都有成立求此时数列公比q的最小值【答案】（）；（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）由已知，运用等差数列的性质求得，从而求出公差，进而可得通项公式；（）由等差中项性质
17、和数列的递推式，结合等比数列的定义和“数列”的定义，即可得证；（）由“数列”的定义和等比数列的通项公式，以及构造函数，运用导数判断单调性，比较（2），（3），即可得到所求最小值【详解】（）数列是单调递增的等差数列，满足，即为，又，解得，则公差为1，；（）证明：若是和1的等差中项，则，当时，即，又时，又，两式相减可得，即，可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，是“数列”；（）因为是“数列”，所以数列是首项为1，公比为 正数的等比数列，设公比为，则，因为对于任意的正整数，都有成立，即都成立两边取对数可得，设，则，由可得，当时，递减；当时，递增，所以比较（2），（3）的大小而（2），（3），可得（2）（3）所以（3），即，因，所以，可得，所以数列公比的最小值为.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及新定义数列的理解和运用，考查了转化思想的应用，还考查运算能力和推理能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题