1、概率的基本性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)给出以下结论:互斥事件一定对立;对立事件一定互斥;互斥事件不一定对立;事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中不正确的是()A.B.C.D.【解析】选AD.对立必互斥,互斥不一定对立,所以正确,错;又当A+B=A时,P(A+B)=P(A),所以错;只有A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),所以错.2.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的
2、点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意可知表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥.由概率的加法公式可得P(A+)=P(A)+P()=+=.3.国际羽联规定,标准羽毛球的质量应在4.74,5.50内(单位:克).现从一批羽毛球产品中任取一个,已知其质量小于4.74的概率为0.1,质量大于5.50的概率为0.2,则其质量符合规定标准的概率是()A.0.3B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选B.因为事件“羽毛球的质量在4.74,5.50内”(质量符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大于5.50”,而“质量小于4.74”和“质
3、量大于5.50”互斥,所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7.4.若事件A与B是互斥事件,且事件AB的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【解析】选C.由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.5.如图所示,靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成,射手命中,的概率分别为0.15,0.20,0.45,则不中靶的概率是()A.0.20B.0.25C.0.15D.0.30【解析】选A.设射手“命中圆面”为事件A,“命中圆环”为事件
4、B,“命中圆环”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靶的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事件,故不中靶的概率为P(D)=1-P(A+B+C)=1-0.80=0.20.6.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是()A.都是一级品B.都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品【解析】选D.设A1,A2,A3分别表示3件一级品,B1,B2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间=A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A
5、3B1,A3B2,B1B2,共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.事件A表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=,事件B表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=,事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”,包含6个样本点,则P(C)=.事件A,B,C互斥,P(B)+P(C)=,BC表示“至少有1件二级品”,故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“出现不大于4的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,则事件A发生的概率为_.(表示B的对立事件)【解析】随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果,且每种结果发生的
6、可能性是相等的.其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果,P(A)=.事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果,P(B)=,P()=.且事件A和事件是互斥事件,所以P(A)=+=.答案:8.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是_,_,_.【解析】设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,且事件A,B,C,D两两互斥,根据题意,得解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.答案:三、解答题(每小题10分,共
7、20分)9.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人互相可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?【解析】(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A,B,C,D,它们彼此互斥.由已知得P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.由于B,O型血可以输给B型血的人,因此“可以输血给小明的人”为事件B+D,根据
8、互斥事件的概率加法公式,得:P(B+D)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,因此“不能输血给小明的人”为事件A+C,所以P(A+C)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.【补偿训练】某战士在一次射击训练中,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9.上述说法是否正确?请说明理由.【解析】不正确.因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率加法公式计算.10.甲、乙两人玩一种游戏,每次甲、乙各出1到5根手指头,
9、若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若事件A表示“和为6”,求P(A);(2)现连玩三次,若事件B表示“甲至少赢一次”,事件C表示“乙至少赢两次”,试问B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以P(A)=.(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3
10、,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).共13个,所以甲赢的概率为,乙赢的概率为1-=,所以这种游戏规则不公平.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列四个命题中的错误命题是()A.对立事件一定是互斥事件B.若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1D.事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件【解析】选BCD.对立事件首先是互斥事件,故A正确;只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式
11、,故B不正确;概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,故C不正确;对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事件A=正面为奇数,B=正面为1,2,3,则P(A)+P(B)=1.而A,B不互斥,故D不正确.2.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为()A. B. C. D.【解析】选D.设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件AB发生.于是P(AB)=P(A)+P(B)=+=.3.在第3,6,16路公共汽车的同一个停靠站
12、(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5 min之内乘上公共汽车赶到厂里.他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5 min之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5 min内能乘上所需车的概率为()A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12【解析】选C.因为乘客上3路车和上6路车这两个事件是彼此互斥的,所以所求的概率为0.20+0.60=0.80.4.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间20,25)上为一等品,在区间15,20)和25,30)上为二等品,在区间10,15)和30,35
13、上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是()A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【解析】选D.用频率估计概率,由图可知,抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.二、填空题(每小题5分,共20分)5.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有_人.【解析】可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.再由题意,知
14、n-n=12,解得n=120.答案:1206.从几个数中任取实数x,若x(-,-1的概率是0.3,x是负数的概率是0.5,则x(-1,0)的概率是_.【解析】设“x(-,-1”为事件A,“x是负数”为事件B,“x(-1,0)”为事件C,由题意知,A,C为互斥事件,B=A+C,所以P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A) =0.5-0.3=0.2.答案:0.27.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为_.【解析】因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99
15、.答案:0.998.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知,是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶的概率为_;乙射击一次,不中靶的概率为_.【解析】由P1满足方程x2-x+=0知,-P1+=0,解得P1=;因为,是方程x2-5x+6=0的根,所以=6,解得P2=.因此甲射击一次,不中靶的概率为1-=,乙射击一次,不中靶的概率为1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该
16、球的编号为n,求nm+2的概率.【解析】取球一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16个结果出现的可能性是相等的.又满足条件nm+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件nm+2的事件的概率为,故满足条件nm+2的事件的概率为1-=.【补偿训练】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,
17、事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率.(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.【解析】方法一(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=+=.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1-=,即“取出1个球为红球或
18、黑球”的概率为.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.10.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解析】
19、(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车超过1小时,不超过2小时”为事件B,“一次停车超过2小时,不超过3小时”为事件C,“一次停车超过3小时,不超过4小时”为事件D.由已知得P(B)=,P(C+D)=.又事件A,B,C,D互斥,所以P(A)=1-=.所以甲的停车费为6元的概率为.(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16种情况发生的可能性是相等的;而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个.所以所求概率为.