1、第四章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系(15分钟30分)1.下列结论中成立的是()A.sin =且cos =B.tan =2且=C.tan =1且cos =D.sin =1且tan cos =1【解析】选C.A中,sin2+cos2=1,故不成立;B中=,即tan =3,与tan =2矛盾,故不成立;D中sin =1时角的终边落在y轴的非负半轴上,此时tan 无意义,故不成立.2.已知是第二象限角且cos =-,则tan 的值是()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为为第二象限角,所以sin =,所以tan =-.【补偿训练】已知sin -cos =,(0,),则tan =()A.-1B
2、.-C.D.1【解析】选A.由sin -cos =,两边平方得1-2sin cos =2,即2sin cos =-1,故(sin +cos )2=1+2sin cos =0,即sin +cos =0,联立得sin =,cos =-,故tan =-1.3.已知tan =2,则=()A.-3 B.-1C.1D.3【解析】选D.=,把tan =2代入,得原式=3.4.若sin =-,tan 0,则cos =_.【解析】由已知得是第三象限角,所以cos =-=-=-.答案:-5.化简下列各式:(1);(2)(1-cos ).【解析】(1)原式=1;(2)原式=(1-cos )=(1-cos )=sin
3、 .【补偿训练】化简:-(为第二象限角).【解析】因为是第二象限角,所以cos 0.则原式=-=-=+=tan .(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.cos2x=()A.tan xB.sin xC.cos xD.【解析】选D.cos2x=cos2x=cos2x=.2.若0,2)且+=sin -cos ,则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.因为+=+=sin -cos ,所以sin 0且cos 0,所以.【误区警示】在=,=上,易犯=sin ,=cos 的错误.3.设A是ABC的一个内角且sin A+cos A=,则这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.
4、等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.将sin A+cos A=两边平方得sin2A+2sin Acos A+cos2A=,又sin2A+cos2A=1,故sin Acos A=-.因为0A0,则cos A0,即A是钝角.二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知sin =,cos =,则m的值可以等于()A.0B.4C.6D.8【解析】选AD.因为sin2+cos2=1,所以+=1,解得m=0或8.经检验,m=0或8符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知sin cos =,则sin -cos =_.【解析】因为(sin -cos )2=
5、1-2sin cos =1-2=0,所以sin -cos =0.答案:06.已知tan =3,则=_;=_.【解析】因为tan =3,所以cos 0.原式的分子、分母同除以cos ,得=.将的分子、分母同除以cos2,即=-.答案:-【补偿训练】已知tan =2,则4sin2-3sin cos -5cos2=_.【解析】4sin2-3sin cos -5cos2=1.答案:1四、解答题7.(10分)已知-x0,sin x+cos x=,求下列各式的值.(1)sin x-cos x;(2).【解析】(1)因为sin x+cos x=,所以(sin x+cos x)2=,即1+2sin xcos
6、x=,所以2sin xcos x=-.因为(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x=1-2sin xcos x=1+=,又-x0,所以sin x0,所以sin x-cos x0,所以sin x-cos x=-.(2)由已知条件及(1),可知解得所以=.【补偿训练】1.已知sin +cos =,其中0,求sin -cos 的值.【解析】因为sin +cos =,所以(sin +cos )2=,可得sin cos =-.因为0,且sin cos 0,cos 0.又(sin -cos )2=1-2sin cos =,所以sin -cos =.2.已知在ABC中si
7、n A+cos A=.(1)求sin Acos A;(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tan A的值.【解题指南】可先把sin A+cos A=两边平方得出sin Acos A,然后借助于A(0,)及三角函数符号法则可得sin A与cos A的符号,从而进一步构造sin A-cos A的方程,最后联立求解.【解析】(1)因为sin A+cos A=,所以两边平方得1+2sin Acos A=,所以sin Acos A=-.(2)由(1)sin Acos A=-,且A(0,),可得cos A0,cos A0,所以sin A-cos A=,所以由,可得sin A=,cos A=-,所以tan A=-.