1、2015-2016学年山东省淄博六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1设全集U=R，集合M=x2+2x30，N=x|1x4，则MN等于( )Ax|1x4Bx|1x3Cx|3x4Dx|1x12全称命题：xR，x20的否定是 ( )AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x203设a=30.3，b=log3，c=log0.3e，则a，b，c的大小关系是( )AabcBcbaCbacDcab4已知函数f（x）=若f（a）=，则a=( )A1BC1或D1或5“x（x5）0成立”是“|x1|4成立”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件
2、C充分必要条件D既不充分也不必要条件6将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( )Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）7设f（x）=3x+3x8，用二分法求方程3x+3x8=0在x（1，2）内近似解的过程中得f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间( )A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1.5，2）D不能确定8在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=( )ABCD9函数f（x）=2xtanx在上的图象大致为( )ABCD10已知定义在R上的函数f（x），对任意xR，
3、都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=1对称，则f=( )A0B2013C3D2013二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11已知|=1，|=6，（）=2，则向量与的夹角为_12在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为_13由曲线y=3x2和直线y=2x所围成的面积为_14已知点P（x，3）是角终边上一点，且cos=，则x的值为_15已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为_三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16在ABC中，角A，B，C
4、的对边分别为a，b，c且满足（2bc）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）若，求17已知函数f（x）=2asinxcosx+2cos2x（a0，0）的最大值为2，且最小正周期为（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（）=，求sin（4+）的值18如图，四棱锥PABCD中，PA面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2（）证明：PB面AEF；（）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值19设数an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（1）求数列an，bn
5、的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn20（13分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1a3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7x9）元时，一年的销售量为（10x）2万件（）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值21（14分）已知函数f（x）=lnx（）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（）证明曲线y=f（x）与曲线y=x有唯一公共点；（）设0ab，比较与的大小，并说明理由2015-2016学年山东省淄博六
6、中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1设全集U=R，集合M=x2+2x30，N=x|1x4，则MN等于( )Ax|1x4Bx|1x3Cx|3x4Dx|1x1【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合【分析】利用一元二次不等式解法化简集合M，再利用交集运算即可得出MN【解答】解：由U=R，M=x2+2x30=x|3x1，N=x|1x4，则MN=x|3x1x|1x4=x|1x1故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2全称命题：xR，x20的否定是( )AxR，x20BxR，x20C
7、xR，x20DxR，x20【考点】命题的否定 【专题】阅读型【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题：xR，x20的否定是：xR，x20故选D【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”3设a=30.3，b=log3，c=log0.3e，则a，b，c的大小关系是( )AabcBcbaCbacDcab【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】考查函数y=3x，y=l
8、ogx，y=log0.3x的单调性，借助于0和1，对a、b、c比较大小【解答】解：y=3x是定义域上的增函数，a=30.330=1，又y=logx是定义域上的增函数，0=log1log3log=1，又y=log0.3x是定义域上的减函数，c=log0.3elog0.31=0，cba；故选：B【点评】本题考查了函数数值大小的比较，解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定，是基础题4已知函数f（x）=若f（a）=，则a=( )A1BC1或D1或【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍【解答】
9、解：令f（a）=则或，解之得a=或1，故选：C【点评】已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍5“x（x5）0成立”是“|x1|4成立”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】由x（x5）00x5，|x1|43x5，知“x（x5）0成立”“|x1|4成立”【解答】解：x（x5）00x5，|x1|43x5，“x（x5）0成立”“|x1|4成立”，“x（x5）0成立”是
10、“|x1|4成立”的充分而不必要条件故选A【点评】本题考查必要条件、充分分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用6将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( )Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换可求得f（x）的解析式，从而可得答案【解答】解：f（x）=sin（2x+），将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得：f（x）=sin2（x
11、）+=sin（2x），所得的图象对应的函数解析式是y=sin（2x），故选D【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，属于中档题7设f（x）=3x+3x8，用二分法求方程3x+3x8=0在x（1，2）内近似解的过程中得f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间( )A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1.5，2）D不能确定【考点】二分法求方程的近似解 【专题】计算题【分析】由已知“方程3x+3x8=0在x（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）0，f（1.25）0，它们异号【解答】解析：f（1.5）f（1.25）0，由零点存在定
12、理，得，方程的根落在区间（1.25，1.5）故选B【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点8在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=( )ABCD【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出【解答】解：在ABC中，已知D是AB边上一点=2，=，=，=，故选A【点
13、评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量9函数f（x）=2xtanx在上的图象大致为( )ABCD【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由题意判断函数的奇偶性以及函数在x大于0时的单调性即可推出正确结果【解答】解：因为函数f（x）=2xtanx在上满足f（x）=f（x），所以函数是奇函数，故A，B不正确；又x=0+，函数f（x）=2tan=0，故C正确，D不正确故选C【点评】本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用，特值法是解答选择题的好方法10已知定义在R
14、上的函数f（x），对任意xR，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=1对称，则f=( )A0B2013C3D2013【考点】抽象函数及其应用 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】函数y=f（x+1）的图象关于直线x=1对称函数y=f（x）的图象关于y轴对称y=f（x）为R上的偶函数，从而可求得f（3）=0，继而得函数y=f（x）是以6为周期的函数，从而可得f的值【解答】解：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=1对称，函数y=f（x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，y=f（x）为R上的偶函数，又对任意xR，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
15、令x=3得：f（63）=f（3）+f（3）=2f（3），f（3）=0，f（x+6）=f（x），函数y=f（x）是以6为周期的函数，f=f（3356+3）=f（3）=0，故选：A【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性与周期性的应用，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11已知|=1，|=6，（）=2，则向量与的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由（）=2，得，利用向量夹角公式可求得【解答】解：由（）=2，得=2，即=3，cos，=，所以=，故答案为：【点评】本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角，属基础题12
16、在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为20（1+）m【考点】解三角形的实际应用 【专题】计算题【分析】在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60求得BD，进而可得答案【解答】解析：如图，AD=DC=20BD=ADtan60=20塔高为20（1+）m【点评】本题主要考查解三角形在实际中的应用属基础题13由曲线y=3x2和直线y=2x所围成的面积为【考点】定积分 【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用【分析】联立由曲线y=3x2和y=2x两个解析式求出交点坐标，然后在x（3，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可【解答】解：联立得 ，解得
17、 或 ，设曲线与直线围成的面积为S，则S=31（3x22x）dx=故答案为：【点评】考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力14已知点P（x，3）是角终边上一点，且cos=，则x的值为4【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值【解答】解：点P（x，3）是角终边上一点，且cos=，x=4，故答案为：4【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题15已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为x|0x1【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】常规题型
18、【分析】由已知当x0时，总有f（x）xf（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案【解答】解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，g（x）在（0，+）为减函数，x0，0x1故答案为：x|0x1【点评】本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2bc）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）若，求【考点】正弦定理的应用 【专题】计算题；解三角形【分析】（1）由正弦定理可将已
19、知转化为2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，继而可求得cosA=，从而可求得角A的大小；（2）依题意，利用向量的数量积可求得，从而可得的值【解答】解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA，2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，sinB0，cosA=，A=（2）c=|=，b=|=2，=+2|cosA=7+2，=【点评】本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查向量的数量积，属于中档题17已知函数f（x）=2asinxcosx+2cos2x（a0，0）的最大值为2，且最小正周期为（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若
20、f（）=，求sin（4+）的值【考点】两角和与差的正弦函数；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4+）的值【解答】解：（）f（x）=2asinxcosx+2cos2x=asin2x+cos2x=sin（2x+）f（x）的最小正周期为T=，=1，f（x）的最大值为2，=2，即a=1，a0，a=1即f（x）=2sin（2x+）由2x+=+k，即x=+，（kZ）（）由f（）=，得2sin（
21、2+）=，即sin（2+）=，则sin（4+）=sin2（2+）=cos2（2+）=1+2sin2（2+）=1+2（）2=【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键同时也考查三角函数倍角公式的应用18如图，四棱锥PABCD中，PA面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2（）证明：PB面AEF；（）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 【专题】空间向量及应用【分析】（）由题设条件推导出EFPB，由此能证明PB面AEF（）由题设条件推导出ABE
22、=60，ADE=DAE，从而得到BAAD分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值【解答】（本小题满分12分）（）证明：E、F分别为BD、PD的中点，EFPBEF面AEF，PB面AEFPB面AEF（）解：EA=EB=AB=1ABE=60又E为BD的中点ADE=DAE2（BAE+DAE）=180解得BAE+DAE=90，BAADEA=EB=AB=1，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，又，面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦
23、值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养19设数an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】等差关系的确定；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定 【专题】计算题【分析】（1）求数列an，bn的通项公式，先要根据已知条件判断数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，得到数列an为等比数列，而由数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，得数列bn是一个等差数列求出对应的基
24、本量，代入即可求出数列an，bn的通项公式（2）由（1）中结论，可得 ，即数列cn的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn1+1（n2），两式相减得an+1an=2an，an+1=3an（n2）又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1故an是首项为1，公比为3的等比数列所以an=3n1由点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，所以bn+1bn=2则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则bn=1+（n1）2=2n1（）因为 ，所以 则 ，两式相减得：所以 =【点评】解决等差数
25、列与等比数列的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算20（13分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1a3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7x9）元时，一年的销售量为（10x）2万件（）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用 【专题】应用题；导数的综合应用【分析】（）根据条件建立利润L（万元）与每件
26、商品的售价x的函数关系式L（x）；（）利用导数求利润函数的最值即可【解答】解：（）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x4a）（10x）2，x7，9（）求函数的导数L（x）=（10x）22（x4a）（10x）=（10x）（18+2a3x），令L（x）=0，得或x=10，1a3，当，即时，x7，9时，L（x）0，L（x）在x7，9上单调递减，故L（x）max=L（7）=279a当，即时，时，L（x）0；时，L（x）0，L（x）在上单调递增；在上单调递减，故答：当每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为279a万元；当每件商品的售价为元时，该连
27、锁分店一年的利润L最大，最大值为万元【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用导数解决生活中的优化问题，考查学生应用能力21（14分）已知函数f（x）=lnx（）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（）证明曲线y=f（x）与曲线y=x有唯一公共点；（）设0ab，比较与的大小，并说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）设切点为（x0，y0），由k=f（x0）=1求解（）构造函数=，对其求导，讨论其单调性，结合着h（1）=0证明该命题（）欲比较=与的大小，注意到ba0，也就是比较与的大小，再进行作差变形，=，构造函数（x）=，（x1），求导
28、研究其在（1，+）上的性质【解答】解：（），设切点为（x0，y0），则，x0=1，y0=lnx0=0，代入y=x+m得m=1（）令=，则=0，h（x）在（0，+）上单调递减又h（1）=ln11+1=0，x=1是函数h（x）唯一的零点，故点（1，0）是两曲线唯一的公共点（）=，要比较=与的大小，ba0，只要比较与的大小=，构造函数（x）=，（x1）则（x）=，显然（x）0，（x）在（1，+）上单调递增又当x=1时，（1）=0，当x1时，（x）0，即0则有0，即成立即得【点评】本题属于中等偏难的题型，特别是第三问的处理，“转化”思想体现的尤为明显，对于差式=，其中的代数变换是构造合适函数的关键，使得问题迎刃而解