1、北京市朝阳区2005年高三数学（文史类）第二次统一考试2005.5 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分） 参考公式： 棱锥的体积公式 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高。 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）函数的反函数是（ ） A. B. C. D. （2）已知直线，平面，则下列条件中能推出的是（ ） A. B. C. D. （3）函数的图象大致是（ ） （4）已知
2、p：为第二象限角，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 （5）已知向量，若与平行，则实数m等于（ ） A. B. C. 2D. （6）设是椭圆的两个焦点，点P是椭圆短轴的顶点，且，则椭圆的离心率e的值是（ ） A. B. C. D. （7）七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品必须相邻，则不同的排列方法共有（ ） A. 240种B. 480种C. 960种D. 1440种 （8）给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，则这个数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D.
3、 第II卷（非选择题 共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。 （9） （10）设集合，则_ （11）已知，则_，_ （12）抛物线的焦点F的坐标为_；若P为抛物线上一点，点M的坐标是（4，2），则的最小值为_。 （13）一个体积为v的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为图_（填入正确图象的序号） （14）定义符号函数，则不等式的解集为_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分12分） 已知：（为常数） （I
4、）若，求的最小正周期； （II）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值。 （16）（本小题满分14分） 某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：取出的棋子奖品5枚白棋子价值50元的商品4枚白棋子价值30元的商品3枚白棋子价值10元的商品 如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。 （I）求获得价值50元的商品的概率； （II）求获得奖品的概率； （17）（本小题满分14分） 直四棱柱的底面ABCD为平行四边形，其中，E为DC中点，点F在上，且
5、（I）求异面直线BD与的距离； （II）证明： （III）求二面角的正切值。 （18）（本小题满分14分） 已知函数是奇函数，当时，（a为实数） （I）若在处有极值，求a的值； （II）求时，f(x)的解析式； （III）若f(x)在上是增函数，求a的取值范围。 （19）（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。 （I）求证：； （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。 （20
6、）（本小题满分13分） 已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。【试题答案】一. 选择题。 （1）B（2）C（3）A（4）A （5）B（6）A（7）D（8）C二. 填空题。 （9） （10）1，2，3 （11） （12）（2，0）；6 （13） （14）三. 解答题。 （15）解：（I） 3分 5分 的最小正周期6分 （II） 8分 10分 12分 （16）（I）设事件A
7、：“获得价值50元的商品” 则事件A是等可能事件 6分 （II）事件B：“获得奖品” 则事件B是等可能事件 14分 （17）（I）四棱柱是直四棱柱 面ABCD，面 2分 线段长是直线BD与的距离 异面直线BD与的距离为2 （II）直四棱柱中，面ABCD CD 在中， 在中， 在中， EF6分 E是DC中点 BEDC 面ABC，D是EF在面ABCD上射影 EF面BC1E EFBC110分 （III）EDBE 取BD中点G，连结EG EGBD EG面BFD 在面BEF中，作EHBF，连结GH HGBF EHG是二面角EFBD的平面角12分 易求 BDFBHG 二面角EFBD的正切值14分 （18）
8、（I） 3分 在处有极值 5分 （II）设 6分 为奇函数 8分 （III）时，10分 在上是增函数 在恒成立 的最小值 在上的最小值为12分 当时， 令 适合在， 综合上述， （19）（19）解：（I） 右准线，渐近线 3分 （II） 双曲线C的方程为：7分 （III）由题意可得8分 证明：设，点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q 11分 ，得 的取值范围是（0，1）13分 （20）解：（I） 将这n个式子相加，得 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个，13分