1、第7课时组合应用举例1.进一步巩固组合、组合数的概念.2.学会判断组合问题及常见组合问题的几种解法.3.培养学生转化化归的数学思想.某校开展冬季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号、2号、19号、20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种?问题1:在上述情境中,要“确保5号与14号入选并分配到同一组”,则另外两人的编号都小于5或,于是根据分类加法计数原理,5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法种数为种.问题2:排列与组合的联系组合可看成排列的.
2、对于较复杂的排列问题,常用“先取元素,再排位置”,即“”的方法解决.排列与组合的区别在于取出的元素是“”还是“”,如果与顺序有关是,如果与顺序无关即是.问题3:有限制的组合问题解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.问
3、题4:分组分配问题(1)不平均分组:把n个元素分成p组,各组的元素不尽相同,记各组的元素个数分别为m1,m2,mp,则分法总数为.(2)平均分组:n=pm时,把n个元素分成p组,每组的元素个数都为m,则分法总数为.(3)部分平均分组:在分组问题中,若出现一部分组的元素个数相同,则分法总数为不均匀分组的总数除以元素相同的组数个数的全排列的商.如:把7个元素分成3组,各组的元素个数分别为2,2,3,则分法总数为(有2组元素均为2,所以除以).把7个元素分成5组,各组的元素个数分别为1,1,1,2,2,则分法总数为(有3组元素个数均为1,所以除以,有2组元素均为2,所以除以).1.将2名教师,4名学
4、生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有().A.12种B.10种C.9种D.8种2.某同学要出国学习,行前和六名要好的同学站成一排照纪念照,该同学必须站在正中间,并且甲、乙两同学要站在一起,则不同的站法有().A.240种B.192种C.96种D.48种3.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则不同选法的种数为.4.6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?特殊元素某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,
5、则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为().A.85B.86C.91D.90分组分配问题有6本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方法?(1)分成1本、2本、3本三组;(2)分给甲、乙、丙三人,其中1人一本,1人两本,1人三本;(3)平均分成三组,每组2本;(4)分给甲、乙、丙三人,每个人选2本.有条件的组合综合问题要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A,B,C 3人必须入选有多少种不同选法?(2)A,B,C 3人都不能入选有多少种不同选法?(3)A,B,C 3人只有1人入选有多少种不同选法?(4)A,B,C 3人至少1人入选有多少种不同选法?(5)A,B,C 3人至多2人
6、入选有多少种不同选法?从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为().A.85B.56C.49D.28将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有多少种(用数字作答)?在7名男生5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种.(1)A,B必须当选;(2)A,B必不当选;(3)A,B不全当选;(4)至少有2名女生当选;(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任.1.设集合A=0,2,4,B=1,3,5,分别从
7、A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有().A.24个B.48个C.64个D.116个2.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为().A.B.C.D.3.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.4.某校为了提高素质教育,积极参加社区服务,某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有多少种?(2013年重庆
8、卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是.(用数字作答)考题变式(我来改编):组合的应用第7课时组合应用举例知识体系梳理问题1:都大于14+=6+15=21问题2:一个步骤先取后排有序无序排列组合问题3:正难则反问题4:(1)(2)基础学习交流1.A分两步:第一步,选派1名教师到甲地,另1名到乙地,共有=2种选派方法;第二步,选派2名学生到甲地,另外2名到乙地,共有=6种选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有26=12种.2.B依题意可分两类:甲、乙两同学站在该同学左边有=96种站法,甲、乙两同学
9、站在该同学右边也有96种站法,共有962=192种.3.9(法一)直接法:分两类,第一类张、王两人都不参加,有=1种选法;第二类张、王两人只有1人参加,有=8种选法.故共有+=9种选法.(法二)间接法:-=9种.4.解:=90.重点难点探究探究一:【解析】由题意,可分三类考虑:(1)男生甲入选,女生乙不入选:+=31;(2)男生甲不入选,女生乙入选:+=34;(3)男生甲入选,女生乙入选:+=21,共有入选方法种数为31+34+21=86.【答案】B【小结】对于含有特殊要求和特殊元素的组合一般采用特殊元素优先考虑方法,情况不定时需要分类讨论,利用分类加法原理解答.探究二:【解析】(1)分三步:
10、先选一本有种选法,再从余下的5本中选两本有种选法,最后余下的三本全选有种选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有=60种.(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)的基础上,还应考虑再分配问题,分配方式共有=360种.(3)由平均分组的概念可知,总的分配方式有=15种.(4)在问题(3)的基础上再分配即可,共有分配方式=90种.【小结】解决此题时注意两方面问题:一注意是否平均分组;二是注意是否分配到人,即是否为有序分组.不平均分组只需分步逐个取出即可,平均分组则要在逐个取出的基础上除以组数的阶乘,而有序分组则要在无序分组的基础上乘以全排列.探究三:【解析】(1)只需从A,B,C之外的9人中选
11、择2人,即有=36种选法.(2)由A,B,C 3人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有=126种选法.(3)可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有种选法,再从余下的9人中选4人,有种选法,所以共有=378种选法.(4)可考虑间接法,从12人中选5人共有种,再减去A,B,C三人都不入选的情况,有种,所以共有-=666种选法.(5)可考虑间接法,从12人中选5人共有种,再减去A,B,C三人都入选的情况有种,所以共有-=756种选法.【小结】1.对“组合问题”恰当地分类计算,是解组合题的常用方法.2.解题时既要灵活选用直接法或间接法,又要结合两种计数原理.思维拓展应用应用一:C甲、乙两人中选
12、一个人,丙没有入选,则有=2=42种;甲、乙两人均入选,则有=7种.共有42+7=49种.应用二:分两步分配:第一步,将6位志愿者分成4组,其分法有;第二步,将分成的4组分配到四个不同的场馆服务的分法有,根据分步乘法计数原理,得不同的分配方案有=1080种.应用三:(1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,故有=120种.(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,故有=252种.(3)全部选法有种,A,B全当选有种,故A,B不全当选有-=672种.(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生,故可用间接法进行,故有-=596种选法.(5)分三步进行:第一步
13、:选1男1女分别担任两个职务有种;第二步:选2男1女补足5人有种;第三步:为这3人安排工作有.由分步乘法计数原理共有=12600种选法.基础智能检测1.C(1)只含0不含5的有:=12;(2)只含5不含0的有:=12;(3)含有0和5的有:当0在个位时,有=24;当5在个位时,有=16.共有12+12+24+16=64个,选C.2.C从后排抽2人的方法种数是,前排的排列方法种数是.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是,故选C.3.48只有1名老队员的排法有=36种.有2名老队员的排法有=12种.所以共有48种.4.解:(法一)至少有1名女生参加,可分为两种情况:1名女生,3名男生;2名女生,2名男生,故不同的方案种数为+=8+6=14.(法二)至少有1名女生参加,可以用总的分配方案数减去没有女生参加的方案数,故所求方案种数为-=15-1=14.全新视角拓展590利用直接法分类求解.一脑一内三骨的选法有=20种,一脑二内二骨的选法有=120种,一脑三内一骨的选法有=120种,二脑一内二骨的选法有=90种,二脑二内一骨的选法有=180种,三脑一内一骨的选法有=60种,所以满足题意的选法共20+120+120+90+180+60=590种.