1、吉林省吉化第一高级中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）本试卷分为第卷和第卷，试卷满分150分，共2页，考试时间120分钟第卷一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是（ ）A. 命题的逆命题是“若，则”B. 命题的逆命题是“若，则”C. 命题的否命题是“若，则”D. 命题的否命题是“若，则”【答案】C【解析】命题p的逆命题是“若则”，故A、B都错，命题p的否命题是“若，则”，C正确，D错误，故选C.考点：四种命题.2.曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线
2、与y轴交点的纵坐标是（）A. 9B. 3C. 9D. 15【答案】C【解析】y3x2，则y|x13，所以曲线在P点处的切线方程为y123(x1)即y3x9，它在y轴上的截距为9.3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将圆方程整理为标准方程可得半径，由长轴长、离心率和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程.【详解】圆方程可整理为：，圆的半径为，解得：，椭圆的标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，涉及到根据圆的方程求解圆的半径、椭圆离心率的应用等知识，属于基础题.4.已知命题,；命
3、题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：命题p：x0，ln（x+1）0，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=1，b=2，ab，但a2b2，则命题q是假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题故选B5.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）
4、A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，为奇函数，排除B，C，令时，故选A考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法8.设，分别是双曲
5、线的左、右焦点.若点在双曲线上，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据知，利用勾股定理和双曲线定义可构造方程求得，利用可求得结果.【详解】由双曲线方程知：，.，由双曲线定义知：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查双曲线中焦半径之和求解问题，关键是能够利用勾股定理和双曲线定义构造方程求得焦半径之积.9.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）A. B. 不存在这样的实数kC. D. 【答案】D【解析】【详解】 ，令 解得 或 即函数 极值点为 若函数上不是单调函数，则 或 解得-故选D【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，其中根据连续函数在定区间上不是单调函数，
6、则函数的极值点在区间上，构造不等式是解答的关键10.已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用抛物线的准线方程，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求解即可详解：双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，a=2，b=2所求的双曲线方程为：故选C点睛：本题考查双曲线标准方程的求法，涉及双曲线的渐近线、抛物线的交点等知识，属于基础题.11.已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A.
7、 (，0)B. C. (0,1)D. (0，)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnxax），则f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B12.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线
8、交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的对称性及为钝角三角形可得，利用可构造出关于的齐次不等式，进而求得离心率的取值范围.【详解】由双曲线对称性可知：，为钝角三角形，.为双曲线的通径，又，解得：，即该双曲线离心率的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解问题，关键是能够利用直角三角形的正切值构造出关于的齐次不等式.第卷二、填空题.本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题存在,使得，则为 .【答案】任意,均有【解析】【分析】带量词的否定应：变量词，否结论【详解】任意,均有14.已
9、知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点则曲线C的方程为_【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程【详解】解：双曲线的渐近线方程为,由一条渐近线方程为,可得椭圆的焦点为,，可得由可得,即双曲线的方程为,故答案为:【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题15.设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.则椭圆的离心率_.【答案】【解析】【分析】由可得，利用向量坐标运算可得到，由斜率可得关系，根据椭圆关系可求得关系，进而得到椭圆离心率.【详解】设
10、，由得：，解得：，即，解得：，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够根据线段长度关系求得坐标，结合直线斜率得到椭圆的关系.16.已知函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是 .【答案】【解析】试题分析：，因为，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）0，因为x0,所以，得x1等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-1x1.考点：奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题实数满足，其中，命题实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值
11、范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和不等式组分别求得，由为真可知均为真，由此可得取值范围；（2）解一元二次不等式可求得，进而得到，根据推出关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）当时，由得：，；由得：，.为真，均为真，实数的取值范围为.（2）由得：，或，由（1）知：是的必要不充分条件，且或，解得：或，实数的取值范围为.【点睛】本题考查根据含逻辑联结词的命题的真假性、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够根据含逻辑联结词得到原命题的真假性、根据必要不充分条件的定义得到推出关系.18.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上若右焦点到直线的距离为3.(1)求椭
12、圆的方程；(2)设椭圆与直线相交于不同两点、，当时，求的取值范围【答案】(1)；（2）.【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点由题设，解得， 故所求椭圆的方程可得（2）设，.P为弦MN的中点，由得因直线与椭圆相交，故即结合韦达定理得到解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点由题设，解得， 故所求椭圆的方程为（2）设，.P为弦MN的中点，由得因直线与椭圆相交，故即（！）故所以又所以则即（2）把（2）代入 （1）得由（2）得解得综上求得m的取值范围是19.设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且.（1）实数的值；（2）求函数的极值.【答
13、案】（1）；（2）的极大值是,极小值是.【解析】试题分析：（1）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出；（2）对求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.试题解析：（1）因,故,从而,即关于直线对称,从而由条件可知,解得,又由于,即解得.（2）由（1）知.令,得或,当时,在上是增函数,当时,在上是减函数,当时,在上是增函数,从而在处取到极大值, 在处取到极小值.考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.20.已知直角梯形的下底与等腰直角三角形的斜边重合，且（如图（1）所示），将此图形沿折叠成直二面角，连接，得到四棱锥（如图（2）所示）. （1）线段
14、上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）存在点，（2）【解析】【分析】（1）假设存在满足题意的点，根据线面平行的性质定理可知，由平行线分线段成比例可求得，则假设成立；（2）取中点，根据垂直关系，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）假设在线段上存在点，使得平面，连接，交于点，连接，若平面，平面平面，平面，.，线段上存在点，使得平面，此时.（2）取中点，连接，四边形为平行四边形，又，.，为中点，又平面平面，平面平面，平面，平面.以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
15、为等腰直角三角形，设，则，.设平面一个法向量，则，令，则，.平面，是平面的一个法向量，即平面与平面的夹角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中存在性问题、平面与平面夹角的求解问题；求解存在性问题的常用方法是通过假设存在，将结论作为已知来反向说明，找到矛盾或验证成立的条件，从而得到结论.21.如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，（1）求证：点的坐标为；（2）求证：；（3）求面积的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1.【解析】试题分析：(1)联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理即可证得点坐标是；(2)结合(1)的结论可证得，利用平面向量垂直的充要条件即可证得；(
16、3)由题意可得AOB的面积表达式：，则当时，取最小值1.试题解析：（1）设，直线方程为代入得，是此方程的两根即点坐标是（2）证明： ，则；（3）由方程得，又当时，取最小值1.22.已知函数为自然对数的底数）（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值 ；(2存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为【解析】【详解】解：（1）
17、当恒成立上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-），没有最值当时，若，则上单调递减；若，则上单调递增，时，有极小值，也是最小值，即 所以当时，的单调递减区间为单调递增区间为，最小值为，无最大值（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点由（1）的结论可知 此时，图象的唯一公共点坐标为又的图象在点处有共同的切线，其方程为，即 综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 方法二：设图象的公共点坐标为，根据题意得即由得，代入得从而10分此时由（1）可知时，因此除外，再没有其它，使 故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为