1、吉林省东北师大附中2015届高三上学期第三次摸底考试数学（理科）试卷【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认
2、真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试卷上作答无效.第卷（选择题，共60分）【题文】一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】（1）设集合，则 （ ）（A） （B） （C） （D）【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C解析：， 故选C.【思路点拨】化简集合A，B，直接计算即可.【题文】（2）若命题，则是 ( ) （A） （B） （C） （D）【知识点】特称命题的否定A3【答案】【解析】B解析：由定义可得为，故
3、选B.【思路点拨】特称命题的否定是全称命题.【题文】（3）设等差数列的前项和为，若，则等于 （ ） （A） （B） （C） （D）【知识点】等差数列D2【答案】【解析】C解析：，公差，所以，故选C.【思路点拨】由等差数列性质计算可得，也可由直接求公差.【题文】（4）“”是数列“为递增数列”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件A2【答案】【解析】A解析：由“”可得，故可推出“数列为递增数列”，故充分性成立由“数列为递增数列”可得，故，即，不能推出“”，故必要性不成立因此“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件，故
4、选A.【思路点拨】由“”可得，推出“数列为递增数列”由“数列为递增数列”，不能推出“”，由此得出结论【题文】（5）在等比数列中，若，则数列的前8项和等于 （ ） （A） （B） （C） （D）【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】C解析：因为，故选C.【思路点拨】，结合对数运算性质得即可求解.【题文】（6）设，都是锐角，且，则（ ） （A） （B） （C）或 （D）或【知识点】两角和与差的余弦公式C5【答案】【解析】A解析：，由题意可得，代入得，故选A.【思路点拨】注意到角的变换，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.【题文】（7）已知函数，则的最小正周期和其图像的一条对称轴方程是 ( ) （
5、A） （B） （C） （D）【知识点】三角函数图像与性质C3【答案】【解析】D解析：，对称轴，当时，故选D.【思路点拨】先化简即可求周期与对称轴方程.【题文】（8）已知函数则其导函数的图像与轴所围成的封闭图形的面积为 （ ）（A） （B） （C） （D） 【知识点】定积分的应用B13【答案】【解析】B解析：令,得：或,所以的图像与轴所围成的封闭图形的面积为：,故选B.【思路点拨】由题可得的图像与轴所围成的封闭图形的面积为：，代入计算可得结果.【题文】（9）已知，则的最小值是 ( ) （A）4 （B）3 (C) 2 (D) 1【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】A解析：由题得，所以，当且仅当
6、，即，时等号成立，故选A.【思路点拨】由题得，做变换即可利用基本不等式求解.【题文】（10）若函数的定义域为，恒成立，则解集为（ ）（A） （B） （C） （D）【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】D解析：令，要求，就是求，所以函数在上单调递增，而，即，故选D.【思路点拨】构造函数，得，得函数在上单调递增，又，所以，可求其解集.【题文】（11）设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【知识点】函数综合B14【答案】【解析】C解析：令，即在时单调递增，由对任意的，都有成立，所以，即，又，得，故选C.【思路点拨】由题意可得在时单调递增，要使对任
7、意的，都有成立，只需.【题文】（12）定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 ( ) （A） （B） （C） （D） 【知识点】根的存在性及根的个数判断 B5【答案】【解析】D解析：当时，所以，此时当时，；当时，所以；由此可得时，下面考虑且时，的最大值的情况当时，由函数的定义知,因为，所以，此时当时，；当时，同理可知由此可得且时，综上可得：对于一切的，函数在区间上有1个零点，从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为故选D.【思路点拨】函数是分段函数，要分区间进行讨论，当是二次函数，当时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出第卷（非选择题 共90分）【题
8、文】二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）【题文】（13）函数的最大值为 ；【知识点】函数的最值B3【答案】【解析】解析：令（），原式，（1），（1）式，故最大值为.【思路点拨】令（），原式，利用基本不等式即可求解.【题文】（14）在中，内角所对的边的长分别为，且，则 ；【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】解析：，即，由正弦、余弦定理化简得：，则，即或，且， ，即，故不成立，舍去，则故答案为.【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为代入，约分后再将代入，利用正弦定理化简得到，进而得到，即可求出所求式子的值【题文】（15）函数的递增区间是 ；【知识点】函数的单调性B
9、3【答案】【解析】解析：， 定义域为，当时，函数递增，此时，故递增区间为.【思路点拨】求单调区间先求定义域，再根据解出的范围即可.【题文】（16）已知数列中，则 .【知识点】递推公式D5【答案】【解析】 解析：由，得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，是这个数列的第19项，故答案为. 【思路点拨】把给出的数列递推式变形，得到等比数列，求出其通项公式即可.【题文】三、解答题（本题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】（17）（本小题满分10分）已知是斜三角形，内角所对的边的长分别为己知 （I）求角； （II）若=，且 求的面积.【知识点】余弦定理 正弦定理C8【
10、答案】【解析】（I）（II） 解析：（I）根据正弦定理 ，可得，可得，得,；（II） ， 为斜三角形，由正弦定理可知 （1）由余弦定理 .（2）由（1）（2）解得.【思路点拨】（I）根据正弦定理算出，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理的式子，列式解出，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到的面积【题文】（18）（本小题满分12分）已知等比数列为递增数列，且，.（）求；（）令，不等式的解集为，求所有的和.【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和D5 D3 D4【答案】【解析】（I）（II）解析：. （）设的首项为，公比为，解得，又,则，解得（舍）
11、或（）由（I）可得：，当n为偶数，即，不成立当n为奇数，即，组成首项为，公比为4的等比数列则所有的和【思路点拨】（）设的首项为，公比为，由，可得，解得再利用，可得，即可得出（II）由（I）可得当n为偶数，不成立当n为奇数，可得，得到的取值范围可知组成首项为211，公比为4的等比数列,求出即可【题文】(19)（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独
12、立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.课 程来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差K6 K2 K8【答案】【解析】（I）（II）解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： （2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3， ，的分布列为： ,【思路点拨】（I）分
13、别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果（II）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出的分布列和数学期望【题文】(20) （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，为棱上的动点，（）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（）当的值为多少时，二面角的大小是45【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角G12 G10【答案】【解析】（I）（II）解析：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得，为中点，设是平面的一个法向量，则 ，得, 取，得，设直线与平面的法向量
14、的夹角为，则，直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为（5分）（2）设，设是平面的一个法向量，则，取，得,是平面的一个法向量，得，即，当时，二面角的大小是（10分）【思路点拨】（I）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面所成角的正弦值（II）求出平面的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角的大小是.【题文】(21) （本小题满分12分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2.（）求双曲线的标准方程；（）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【知识点】直线与双曲线H8【答案】【
15、解析】（）（）直线过定点，定点坐标为解析：（）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，又，解得，双曲线的标准方程为.（）设，联立 ，得，有 ， ，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即， ，解得：，.当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件所以，直线过定点，定点坐标为【思路点拨】（）由已知得：，易得双曲线标准方程；（）设，联立 ，得，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即，代入即可求解.【题文】 (22)（本小题满分12分）已知函数（）求函数的单调区间；（）设是正数，且，求证：.【知识点】利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】（I）当时，的递增区间为；当或时，的递增区间为，减区间为.（II）略解析：（I）函数的定义域为，令，由题意得，则，对称轴为，（1）当时，即，在上递增；（2）当或时，的两根为，由，得，当时，递减；当时，递增，所以的递增区间为，减区间为.（II）要证，只需证，即 ，即 设，由题知在上是单调增函数，又 所以，即 成立，得到 【思路点拨】（I）求出函数的导数，对分情况讨论，（1）当时，（2）当或时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（II）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到在时单调递增，且，利用函数的单调性可得证