1、第3课时计 算 导 数1.理解导数的概念.2.掌握导数的定义求法.3.熟记基本初等函数的导数公式并能求一些简单函数的导函数.根据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=的导数.对于f(x)=x,f(x)=1,即f(x)=x=1.对于f(x)=x2,f(x)=,即f(x)=(x2)=.对于f(x)=,f(x)=.即f(x)=()=-.问题2:(1)导函数的概念:如果一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f(x),f(x)=,则f(x)是关于x的函数,称f
2、(x)为f(x)的导函数,简称导数.(2)几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)=cf(x)=f(x)=xf(x)=f(x)=x2f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=问题3:基本初等函数的导数公式.(1)c=(cR);(2)(xn)=(nQ);(3)(sin x)=,(cos x)=;(4)(ex)=,(ax)=;(5)(ln x)=,(logax)=.问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由定义的,所以函数求导总是要归结为求,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数
3、的导函数就可以用公式直接求导了,简洁迅速.1.物体自由落体的运动方程为s(t)=gt2,g=9.8 m/s2,若s(1)=9.8 m/s,那么下列说法中正确的是().A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度B.9.8 m/s是物体从1 s到(1+t) s这段时间内的速度C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速度D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+t) s这段时间内的平均速度2.已知f(x)=,则的值是().A.-B.C.-D.3.函数y=sin x在x=处切线的斜率为.4.求下列函数的导数.(1)y=x15;(2)y=x-3(x0);(3)y=(x0);(4)y=(
4、x0).函数在一点处的导数计算(用定义)已知f(x)=x2-3.(1)求f(x)在x=2处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.导数公式表的应用求下列函数的导数:(1)y=sin;(2)y=5x;(3)y=x;(4)y=lox.导数及其几何意义的应用已知函数f(x)=-1(a0)的图像在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.求函数f(x)=-x在点x=4处的导数(用定义求).求函数f(x)=在x=1处的导数.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数 a的值.1.下列结论中正确的个数为().y=ln 2,则y=;f(x)=,则f(3)=
5、-;y=2x,则y=2xln 2;y=log2x,则y=.A.0B.1C.2D.32.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为().A.(,2)C.(,2)或(-,-2)C.(-,-2)D.(,-2)3.已知f(x)=xa,若f(-1)=-4,则a的值等于.4.求曲线y=在点M(3,3)处的切线方程.(2009年陕西卷)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.考题变式(我来改编):答案第3课时计 算 导 数知识体系梳理问题1:2x2x-问题2:012x-问题3:(1)0(2)nxn-1(3)cos
6、 x-sin x(4)exaxln a(5)logae问题4:极限极限基础学习交流1.C根据导数的意义可知C正确.2.A=-=-f(x)=-()=-.3.y=cos x,k=cos=.4.解:(1)y=15x14;(2)y=-3x-4(x0);(3)y=(x0);(4)y=,y=-=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)=4+x,f(2)=(4+x)=4.(2)=2a+x,f(a)=(2a+x)=2a.【小结】计算函数y=f(x)在x=x0处的导数步骤是:求函数的改变量y;求平均变化率;取极限,得导数f(x0)=.探究二:【解析】(1)y=0.(2)y=(5x)=5xln 5.(3)y=x=,
7、y=.(4)y=-.【小结】熟记基本初等函数的导数公式.探究三:【解析】f(x)=,f(1)=.又f(1)=-1,f(x)在x=1处的切线l的方程是y-+1=(x-1).l与坐标轴围成的三角形的面积S=|-1|=(a+2)(2+2)=1.当且仅当a=,即a=1时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小,最小值为1.【小结】本小题主要涉及求导公式导数的几何意义、切线的求法以及三角形的面积公式.思维拓展应用应用一:=-1,f(4)=(-1)=-.应用二:f(x)=()=()=-=-=-,f(1)=-=-,函数f(x)在x=1处的导数为-.应用三:y=-,k=-,切线方程是y-=-(x-a).令x=
8、0,y=;令y=0,x=3a.三角形的面积是S=3a=18,解得a=64.基础智能检测1.D根据导数的计算公式知正确.y=(ln 2)=0,错误.f(x)=()=(x-2)=-2x-3=-,f(3)=-,正确.2.By=()=-,设P(x0,y0),则-=-4,解得x0=.3.4f(x)=axa-1,又f(-1)=-4,a(-1)a-1=-4a=4.4.解:y=-,当x=3时,y=-1,切线方程为y-3=-(x-3),即x+y-6=0.全新视角拓展-2y=(n+1)xn,在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,解得xn=,an=lg xn=lg n-lg(n+1),a1+a2+a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+lg 99-lg 100=-2.