1、北京市师范大学珠海分校附属外国语学校2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1. 下列四个选项表示的关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】元素与集合的关系判断【详解】0是整数，是无理数，与没有包含关系，而5是自然数，只有D正确故选：D2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，定义域为
2、，的定义域为，故不满足条件；对于B选项，显然与的对应关系不同，故不满足条件；对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件故选：D【点睛】本题考查函数相等的概念，熟练掌握函数相等概念是解题的关键，是基础题3. 设，若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合间包含关系列出不等式组，求解即可.【详解】解：，且，此不等式组无解.故选：D.4. 下列函数是幂函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的概念判断各选项中的函数是否为幂函数，由此可得出合适的选项.【详解】形如（
3、为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、均不是幂函数，故选：B.5. 下列为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义判断即可；【详解】解：对于A：为偶函数，故错误；对于B：为非奇非偶函数，故错误；对于C：为偶函数，故错误；对于D：定义域为，且，故函数为奇函数，故正确；故选：D6. 设，则“”是“且”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若，满足，但不满足“且”；所以“”不是“且”的充分条件；若且，则显然成立
4、；所以“”是“且”的必要条件；因此，“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型.7. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用分段函数及周期性求得，再代入计算即得结果.【详解】函数，则.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求函数值，属于基础题.8. 已知函数，其中，则函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出当、时对应的函数值，由此可得出原函数的值域.【详解】，.当时，；当时，；当时，；当时，.因此，原函数的值域为.故选：B9. 若，则恒成立的不等式是（ ）A. B. C.
5、 D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质、及特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为当，时，显然满足，但是，不满足，故A错误；当，时，显然满足，但是，不满足，故B错误；当，时，显然满足，但是，不满足，故C错误；因为，所以，所以，故D正确故选：D10. 下面说法正确的是（ ）A. 若，则的最小值为4B. “”是“”的必要不充分条件C. “在中，”是“为直角三角形”的充要条件D. “若，则”是“，不全为0”的充要条件【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式判断A；根据充分条件、必要条件判断BCD；【详解】解：对于A：若，则，当且仅当，即时取等号，故A正确；对于B：，解得或；若，解得，所以“
6、”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：在中，则为直角三角形，且，但是为直角三角形，则或或，故由为直角三角形，不一定得到，故C错误；对于D：若，则，则，不全为0，若，不全为0，则，故“若，则”是“，不全为0”的充要条件，故D正确；故选：AD11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数【答案】A【解析】【分析】配方得二次函数的对称轴，然后判断【详解】，对称轴为，二次项系数为，因此在上递增，在上递减，故选：A12. 若偶函数在区间上是增函数，且最小值为，则它在区间上是（ ）A. 增函数，且最小值是B.
7、增函数，且最大值是C. 减函数，且最小值是D. 减函数，且最大值是【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性与偶函数的基本关系可得出结论.【详解】由于偶函数在区间上是增函数，且最小值为，则函数在区间上是减函数，且最小值为.故选：C.二、填空题（本大题8小题，每小题5分，共40分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.13. 函数的定义域为_.【答案】且【解析】【分析】令即可求出定义域.【详解】令 ，解得且，所以函数定义域为且故答案为: 且.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，属于基础题.14. 不等式的解集是_【答案】【解析】【详解】分析】试题分析：由题意得，原不等式可化为，即，所以
8、不等式的解集为 考点：解一元二次不等式15. 命题“”的否定是_，它是_命题（填“真”或“假”）.【答案】 (1). ， (2). 假【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题即可写出命题“”的否定，再判断真假即可.【详解】解：“”的否定是“，易知或时满足，“，为假命题.故答案为：，；假.16. 若，则与的大小关系是_.【答案】【解析】【分析】利用作差法可比较出与的大小关系.【详解】，因此，.故答案为：.17. 偶函数的定义域是，则_.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于0对称可得【详解】由题意，故答案为：218. 函数的单调区间为_.【答案】减区间为【解析】【分析】求出定义域，再
9、确定单调区间【详解】的定义域是，是增函数，在和上都是减函数，的单调减区间是和故答案为：减区间和19. 已知幂函数的图象经过点，则_.【答案】【解析】【分析】代入点的坐标求得，然后再计算函数值【详解】由题意，即，故答案为：20. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由求出的取值范围，可得出函数的定义域，可得出不等式，进而可求得函数的定义域.【详解】由于函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.三、解答题（本大题5小题，每小题10分，共50分）21. 求下列集合：（1）若全集，集合，求；（2）已知集合，求.【答
10、案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据补集和交集定义计算；（2）根据补集和并集定义计算【详解】（1）（2）22. （1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值.【答案】（1）9；（2）9.【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得，再解不等式即可得解；（2）依题意可得，再利用基本不等式乘“1”法计算可得；【详解】解：（1），.，.，.当且仅当，等号成立.故当时，的最小值为9.（2）且.，.当且仅当，即时，等号成立.故当时，的最小值为9【得解】本题考查的是基本不等式，注意不等式使用的条件“一正、二定、三相等”，要配凑成和为定值的形式，并关注取等号的条件，属于中档题23. 已知函数.（1）
11、判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用定义证明即可；（2）根据函数的单调性即可求最值.【详解】解：（1）设，且，则 ，即对，当时，都有，在上单调递减，（2）在上单调递减，当时，有最大值为，当时，有最小值，为.24. 已知函数（1）画出该函数图象；（2）若求实数的值.【答案】（1）图见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式，直接画出函数图象即可；（2）对参数分类讨论，分别计算可得；【详解】解：（1）因为，所以函数图象如下所示：（2）若，则当时， 解
12、得（舍）.当时，解得（舍），.当时，解得（舍）综上，a的值为【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围25. 已知二次函数满足，满足，且（1）函数解析式；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解.（2）由（1）分离参数可得，只需当时，即可.【详解】（1）由，则， 又，则，整理可得，即，解得，所以.（2）当时，不等式恒成立，即在恒成立，设，对称轴，开口朝下，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数值，属于基础题.