1、北京市景山学校远洋分校2020-2021 学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“，使得”的否定为（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，都有【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项【详解】命题“，使得”的否定为“，都有”故选：C2. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，排除B、C、D两项，根据幂函数的单调性、奇偶性和变化趋势，可以判断A是正确的，得到结果.【详解】由题意，函数，可得函数的定
2、义域为，所以排除B、C、D；又由，所以函数为奇函数，又因为，所以函数在第一象限单调递减，可知A正确；故选：A.【点睛】方法点睛：该题主要考查了幂函数的图象识别问题，解题方法如下：（1）关于函数图象识别问题可以从定义域、单调性、奇偶性、图象的对称性、特殊点、函数知道符号入手来分析，对照所给的选项，排除不正确的选项；（2）要熟记基本初等函数的图象和性质.3. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【分析】【
3、详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.4. 下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么( )A. ，B. C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】分别计算出两组数据的平均数和标准差，由此得出正确选项.【详解】依题意，,.故，故选A.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查样本平均数、标准差的计算，运算量较大，属于中档题.5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解
4、.【详解】由数轴知 ，不妨取，对于A， ， 不成立.对于B， 不成立.对于C， ， 不成立.对于D， ，因此成立. 故选：D【点睛】利用不等式性质比较大小要注意不等式性质成立的前提条件解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法6. 某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A. 2000(10.2x)mgB. 2000(10.2)xmgC. 2000(10.2x)mgD. 20000.2xmg【答案】B【解析】【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式【详解】由题意知，该种药物在
5、血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2000 (120%)x20000.8x (mg)，即y与x的关系式为 y20000.8x故选：B【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉
6、1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.8. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，以及（2），（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可【详解】函数，是增函数且为连续函数，又（2），（3），可得所以函数包含零点的区间是故选：【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连
7、续.9. 设函数则“有两个不同的零点”是“，使”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质结合充分必要条件的定义即可【详解】f（x）的二次项系数是1，开口向上，若“f（x）有两个不同的零点”，则“x0R，使f（x0）0”，是充分条件，若“x0R，使f（x0）0”，则“f（x）有两个不同的零点”，是必要条件，故选C【点睛】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题10. 对于函数若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
8、【答案】B【解析】【分析】根据“阶准偶函数”定义，分，三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，则集合中恰有个元素.当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.综上，实数的取值范围是.故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档
9、题.二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11. 已知总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_.7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481【答案】01【解析】分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次是65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,
10、98，其中08,02,14,07,01符合条件，故可得结论.【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08,02,14,07,01，故第五个数为01.故答案为：01【点睛】本题考查随机数表抽样方法，注意数值的取舍，属于基础题.12. 若集合，则_【答案】或【解析】【分析】利用对数的定义可求得集合，然后求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】由对数的定义可得或，因此，或.故答案为：或.13. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数
11、据绘制成频率分布直方图(如图)由图中数据可知_若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为_【答案】0.030 , 3【解析】因为,身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三组内的学生人数为人，其中身高在140 ，150内的学生中人数为,所以从身高在140 ，150内的学生中选取的人数应为人.14. 某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为第天的销售利润为_元; 在未来的
12、这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是_【答案】 (1). 1232 (2). 5【解析】【分析】先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出【详解】因为，所以该天的销售利润为；设捐赠后的利润为元，则，化简可得，令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，解得故答案为：1232；5【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题15
13、. 设函数，其中，且给出下列三个结论：函数在区间内不存在零点；函数在区间内存在唯一零点；设为函数在区间内的零点，则其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】利用零点存在定理可判断的正误；当时，推导出，再利用函数在区间上的单调性可判断的正误.【详解】对于，由零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，错误；对于，函数在区间上为增函数，且，所以，函数在区间内存在唯一零点，正确；对于，由于函数在区间上为增函数，当时，由于为函数在区间内的零点，则，所以，则，正确.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点在区间上判断，解题的关键就是利用零点存在定理进行验证，在判断函数的零点个数时，要注意对
14、函数在区间上的单调性进行分析，若函数在区间上单调性，则该函数在区间上最多一个零点.三、解答题：本大题共6小题，共45分16. 求下列各式的值（）；（）.【答案】（）；（）【解析】【分析】利用指数和对数的运算法则进行计算可得答案.【详解】（）；（）.17. 二次函数满足，再从条件和条件两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求的解析式；（2）在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数m的取值范围.条件：；条件：不等式的解集为.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）选择：设出二次函数的解析式，根据条件，结合待定系数
15、法求出的解析式；选择：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出的解析式；（2）由题意可知，构造函数，由得出的范围.【详解】解（1）由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1(a0).选择，则有由题意，得解得故选择，则可化为.由题，方程的两实根分别为和3所以即，及即，所以.故（2）由题意，得，即，对恒成立.令，则问题可转化为又因为g(x)在上递减，所以，故【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.18. 据中国日报网报道：TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席其中超算仝球第一“神威太湖之光
16、”完全使用了国产处理器为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价【答案】答案见解析.【解析】【分析】本题为开放问题，答案不唯一，结合已有数据，言之成理即可.【详解】本题为开放问题，答案不唯
17、一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，给出明确结论，结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方
18、差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方
19、差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用
20、前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3.后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3.故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据19. 已知函数（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的最
21、大值与最小值【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；（2）由函数的单调性即可得函数最值.试题解析：（1）解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，即.函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为.点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.20
22、. 求函数的单调区间【答案】增区间，减区间为.【解析】【分析】求出函数定义域，分别讨论，和的单调性，根据复合函数单调性的判断法则即可得解.【详解】由得定义域：，是定义在R上的减函数，在单调递减，在单调递增，所以的增区间为，减区间为.21. 已知函数的定义域为D若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”（1）判断函数，与是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足（只需写出结论）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意可依次算出三个函数所对应的的关系式，然后判断是否为负，即满足“凸函数”的定义.（2）根据函数定义域为R，对于任意的且，可知，解不等式，可求出的范围.（3）根据定义域，结合幂函数的性质，可确定一个复合函数满足“凸函数”的定义，如.【详解】（1）（2）函数定义域为R，对于任意的且， 根据题意 ，因为，所以.（3）（注：答案不唯一）【点睛】对于新定义的题型，重点在理解定义，确定知识点.本题的思路为：要计算出的关系式，然后根据“凸函数”的定义，可知.