1、平面(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若点A在直线b上,b在平面内,则点A,直线b,平面之间的关系可以记作()A.AbB.AbC.AbD.Ab【解析】选B.点A在直线b上,所以Ab;直线b在平面内,所以b.2.若一直线a在平面内,则正确的作图是()【解析】选A.B中直线a不应超出平面;C中直线a不在平面内;D中直线a与平面相交.3.下列命题中,正确的是()A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面【解析】选B.因
2、为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.4.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】选C.若这三个点不共线,则这两个平面重合;若这三个点共线,则这两个平面相交.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用符号语言表示以下各概念:点A,B在直线a上_;直线a在平面内_.答案:Aa,Baa6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是_(把正确图形的序号都填上).【解析】图形中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MNPQ,根据两条平行直线可以确定一
3、个平面知正确.分析可知中四点共面,中四点均不共面.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.【证明】已知=l1,=l2,=l3,且l1,l2,l3两两不平行.求证:l1,l2,l3必交于一点.证明:因为l1,l2,l1与l2不平行,所以l1l2=P,因为Pl1,Pl2,所以P=l3,故l1,l2,l3交于一点.8.如图所示,ABCD,AB=B,CD=D,AC=E.求证:B,E,D三点共线.【证明】因为ABCD,所以AB,CD共面,设为平面,所以AC在平面内,即E在平面内.而AB=B,CD=D,AC=E,可知
4、B,D,E为平面与平面的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法正确的是()任意三点确定一个平面;圆上的三点确定一个平面;任意四点确定一个平面;两条平行线确定一个平面.A.B.C.D.【解析】选C.不共线的三点确定一个平面,所以错;圆上的三点一定不共线,所以可以确定一个平面,对;如果四点共线,无法确定平面,所以错;根据推论3,两条平行线确定一个平面,所以对.2.如图所示,用符号语言可表述为()A.=m,n,mn=AB.=m,n,mn=AC.=m,n,Am,AnD.
5、=m,n,Am,An【解析】选A.平面与平面相交于m,所以=m;直线n在平面内,所以n;直线m与直线n相交于A,所以mn=A.3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面内,那么可以记作()A.Al,lB.Al,lC.Al,lD.Al,l【解析】选D.点A在直线l上记作Al,l在平面内,记作l.4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是()A.六边形B.五边形C.菱形D.直角三角形【解析】选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.5.如图,=l,A,C,Cl,直线ADl=D,过A、B、C三点确定的平面为,则平面、的交线必过()A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D
6、【解析】选D.A、B、C确定的平面与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D,且C、D,故C,D在和的交线上.6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.A.B.C.D.【解析】选D.当a=P时,Pa,P,但a,所以错;a=P时,错;如图,因为ab,Pb,所以Pa,所以由直线a与点P确定唯一平面.又ab,由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,所以与重合,所以b,故正确;两个平面的公共点必在其交线上,故正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知D,E是ABC的边AC,
7、BC上的点,平面经过D,E两点,若直线AB与平面的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是_.【解析】因为PAB,AB平面ABC,所以P平面ABC.又P,平面ABC平面=DE,所以P直线DE.答案:P直线DE8.若直线l与平面相交于点O,A,Bl,C,D,且ACBD,则O,C,D三点的位置关系是_.【解析】因为ACBD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面,则=CD.因为l=O,所以O. 又因为OAB,所以O直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,在直角梯形ABDC中,ABCD,ABCD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面S
8、AC的交线.【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于ABCD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,因为EAC,AC平面SAC,所以E平面SAC.同理,可证E平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.10.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置;(2)设lA1B1=P,求线段PB1的长.【解析】(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位
9、置.(2)因为M为AA1的中点,AA1DD1,所以AD=A1E=A1D1=a.因为A1PD1N,且D1N=a,所以A1P=D1N=a,于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.11.已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.【证明】(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且Ka.因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N所以NK,即b.同理,c,d,所以a,b,c,d共面.(2)无三线共点情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q.所以NQ,即b.同理,c,所以a,b,c,d共面.由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.