1、复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则()A.z=-1+iB.z=1+iC.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数. 2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是()A.z1z2B.z1|z2|D.|z1|z2|【解析】选D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|= ,|z2|=,所以|z1|z2|,故C不正确,D正确.3.
2、向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为()A.B.C.2D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|=.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于()A.2+IB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为 ()A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知
3、=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,bR的说法正确的是()A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|0,则ab0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,bR,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|0,则a2+b20,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2c
4、os 300,2sin 300)对应的复数为z,则z=_,|z|=_.【解析】由点的坐标(2cos 300,2sin 300),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为_,虚部为_.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3-4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,yR,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【
5、解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得解得(2)=x-yi=3+2i.10.已知复数z满足|z+1-i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解析】设复数z对应向量,复数z1=-1+i对应向量,由|z+1-i|=|z-(-1+i)|=1,得|-|=|=1,所以动点Z的轨迹是以C(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1-i|=1表示的轨迹,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的
6、交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|-r=-1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,tR,则以下结论中正确的是()A.复数z对应的点在第一象限B.复数z可能是纯虚数C.复数z对应的点在实轴上方D.复数z一定是实数【解析】选BC.因为z的虚部t2+2t+2=(t+1)2+1恒为正,所以z对应的点在实轴上方,且z一定是虚数,排除D.又z的实部2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)可为正、为零、为负,所以选项A不正确.当t=-3或
7、时B正确.2.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e-2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.e-2i=cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2),由于-2-,因此cos(-2)0,sin(-2)1时P在第一象限;当m时P在第三象限;当m,即A-B,sin Acos B.cos B-tan A=cos B-cos B-s
8、in A0, 所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.二、填空题(每小题5分,共20分)5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为_.【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=2-3i.答案:2-3i6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为_.【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|=2.答案:27.已知z-|z|=-1+i,则复数z=_.【解析】设z=x+yi(x,yR),由题意得x+yi-=-1+i,即(x-)+yi=-1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.已知复数z=(a2-
9、2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,且z0,则a的值为_.【解析】由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.当a=2时z=0,与题意不符.答案:0三、解答题(每小题10分,共30分)9.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(mR)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z对应的点在第一象限.所以解得m.所以实数m的取值范围为.10.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(mR),且a,b的夹角为60,求m的值.【解析】因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-+mi(mR),所以a=(-3,0),b=.又a,b的夹角为60,所以cos 60=,即=,解得m=.11.设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,aR,当x在内变化时,求|z|的最小值g(a).【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.令t=2x+2-x,则t2,且22x+2-2x=t2-2.从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,当-a2,即a-2时,g(a)=;当-a-2时,g(a)=|a+1|.综上可知g(a)=