1、吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内1如果复数2i是实数(i为虚数单位，aR)，则实数a的值是()A1B2C3D4解析：因为2i2i(2)i是实数，所以20，即a4.答案：D2设集合MmZ|3m2，NnN|1n3，则MN()A0,1 B1,0,1C0,1,2 D1,0,1,2解析：MmZ|3m22，1,0,1，NnN|1n30,1,2,3，所以MN0,1答案：A3点P在ABC所在的平面内，且()，()；点P为ABC内的一点，且使得2+22取得最小值；点P是ABC所在平
2、面内的一点，且0.上述三个点P中，是ABC的重心的有()A0个 B1个 C2个 D3个解析：()说明点P在BC边上的中线所在的直线上，同理()说明点P在AC边上的中线所在的直线上，所以点P是ABC的重心；设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则222可以表示为关于x和y的二次多项式，分别配方可以得到x，y时此式取得最小值，所以点P是ABC的重心；设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由0可以得到x，y，所以点P是ABC的重心答案：D4给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab且cd，则acbd.”在原命题、逆命题、否命题、逆否
3、命题中，真命题有()A0个 B1个 C2个 D4个解析：原命题是假命题，如：35,42，但3452.逆命题“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab且cd”也是假命题，如：3435，ab3，c4d5.由四种命题的知识知否命题和逆否命题亦为假命题答案：A5某个容器的三视图中正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积为()A.m3 B.m3C.m3 D.m3解析：根据图形可知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，故所求容积为121122 m3.答案：B6在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，现有下面三种抽样方法：随机抽样法：
4、抽签取出20个样本；系统抽样法：将零件编号为00,01，99，然后平均分组抽取20个样本；分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本下列说法中正确的是()A无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等B两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；并非如此C两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；并非如此D采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率是各不相同的解析：抽样方法的原则就是使每个个体有同样的机会被抽中，即每个个体被抽到的概率是相等的答案：A7等差数列an的前n项和为Sn(n1,2,3，)，若当首项a1和公差d变化时，a5a
5、8a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()AS17 BS18 CS15 DS16解析：因为a5a8a11(a14d)(a17d)(a110d)3(a17d)为定值，所以S1515(a17d)为定值答案：C8执行如图所示的程序框图，若p4，则输出的S()A. B. C. D.解析：程序执行过程为：n1，S；n2，S；n3，S；n4，S.程序结束，输出S.答案：A9已知点P在平面区域，点Q在曲线(x2)2y21上，那么|PQ|的最小值是()A1 B2C.1 D.解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C(2,0)向直线3x4y40作垂线，圆心C(2,0)到直线3x4y40的距离为2，又
6、圆的半径为1，所以可求得|PQ|的最小值是1.答案：A10如图，函数yf(x)的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f(x)f(x)x的解集为()Ax|x0或x2Bx|2x或x2Cx|2x或x2Dx|x，且x0解析：由图象知f(x)为奇函数，f(x)f(x)原不等式可化为f(x).由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为y21，与直线y联立得1，x22，x.观察图象知x0或x2.答案：A11设函数yf(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)对一切xR恒成立，又知当1x1时，f(x)x3.则下列四个命题：f(x)是以4为周期的周期函数；f(x)在x1,3上的解析式为f(
7、x)(2x)3；f(x)在点(，f()处的切线的方程为3x4y50；在f(x)的图象的对称轴中，有直线x1.其中正确的命题是()A BC D解析：因为f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x2)2f(x)，所以f(x2)f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x2)2f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，命题正确；由f(x2)f(x)可知，当x1,3时，x21,1，因此f(x)f(x2)(x2)3(2x)3，即命题正确；当x1,3时，f(x)(2x)3，f(x)3(2x)2，所以f()，又f()，故切线方程为y(x)，整理得3x4y50，即命题正确；由f(x2)f(x)f(1x)f(1
8、x)，所以f(x)有对称轴x1.由f(x2)f(x)f(1x)f(1x)，所以f(x)有对称轴x1.故命题正确答案：D12如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos()A. B. C. D.解析：如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202 800，所以BC20.由正弦定理得sinACBsinBAC.由BAC120知ACB为锐角，故cosACB.故coscos(AC
9、B30)cosACBcos30sinACBsin30.答案：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分请把答案填在题中横线上13设a(sinxcosx)dx，则(a)6展开式中含x2项的系数是_解析：依题意得a(cosxsinx)1(1)2，故(2)6展开式的通项为Tr1C(2)6r()rC26r(1)rx3r，令3r2，得r1，所以含x2项的系数是C25(1)192.答案：19214已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)x，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值是_解析：因为函数f(x)x在(0,2)上为减函数，在2，)上为增函数，则当x1,3时，4f(x)5.
10、又函数yf(x)为偶函数，故当x3，1时，4f(x)5，则mn的最小值是1.答案：115如图，一动点沿着棱长为1的正方体的棱从A1点出发到C点，走法是每走一条棱算一步，必须走三步到达C(例如，A1B1BC是一种走法)已知棱上标识的是经过该棱时发生堵塞的概率，则动点从A1点出发到C点发生堵塞的概率最小值为_解析：动点从A1点出发走三步到达C点(设发生堵塞的概率为P)，共有6种走法：A1ABC，此时P1(10.2)(10.3)(10.5)0.72；A1ADC，此时P1(10.2)(10.3)(10.6)0.776；A1B1BC，此时P1(10.4)(10.3)(10.5)0.79；A1B1C1C，
11、此时P1(10.4)(10.6)(10.4)0.856；A1D1DC，此时P1(10.1)(10.4)(10.6)0.784；A1D1C1C，此时P1(10.1)(10.5)(10.4)0.73，综上可知，走法发生堵塞的概率最小答案：0.7216当正三角形的边长为n(nN*)时，图(1)中点的个数为f3(n)123(n1)(n1)(n2)；当正方形的边长为n时，图(2)中点的个数为f4(n)(n1)2；在计算图(3)中边长为n的正五边形中点的个数f5(n)时，观察图(4)可得f5(n)f4(n)f3(n1)(n1)2(n1)(3n2)；.则边长为n的正k边形(k3，kN)中点的个数fk(n)_
12、.解析：观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f3(n1)的三角形，依次类推可以推知边长为n的正k(k5，kN)边形就可以分割为一个点数为f4(n)的四边形和k4个点数为f3(n1)的三角形，即fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)，并且这个规律对k3,4也成立，这样fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)(n1)2(k4)(n1)(k2)n2(k3，kN)答案：(n1)(k2)n2三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题12分)如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形
13、ACDE中，且AE2，ACAA14，E60，点B为DE的中点(1)求证：平面A1BC平面A1ABB1；(2)设二面角A1BCA的大小为，直线AC与平面A1BC所成角的大小为，求sin()的值解析：(1)在平行四边形ACDE中，AE2，AC4，E60，点B为DE的中点ABE60，CBD30，从而ABC90，即ABBC.又AA1平面ABC，BC平面ABC.AA1BC，而AA1ABA，BC平面A1ABB1.BC平面A1BC，平面A1BC平面A1ABB1.(2)解法一：由(1)可知A1BBC，ABBC，A1BA为二面角A1BCA的平面角，即A1BA.在RtA1AB中，AB2，AA14，A1B2，sin
14、sinA1BA，cos.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由题意得A1(0,0,4)，B(，1,0)，C(0,4,0)，(0,4,0)，(，1，4)，(，3,0)，设n(x，y，z)为平面A1BC的一个法向量，则，即.令y1，得平面A1BC的一个法向量n(，1,1)则sin，又0，cos，sin()sincoscossin1，即sin()1.解法二：由(1)可知A1BBC，ABBC，A1BA为二面角A1BCA的平面角，即A1BA，在RtA1AB中，AB2，AA14，A1B2，sinsinA1BA，cos.过点A在平面A1ABB1内作AFA1B于F，连接CF，则由平面A1BC平面
15、A1ABB1，且平面A1BC平面A1ABB1A1B，得AF平面A1BC.ACF为直线AC与平面A1BC所成的角，即ACF.在RtACF中，AF，sin，cos.sin()sincoscossin1，即sin()1.18(本小题12分)为了丰富学生的课外生活，缓解高考压力，某中学高三(5)班成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(0).(1)求文娱队的人数；(2)写出的分布列并计算E.解析：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7x)人，那么只会一项的人数是(72x)人(1)P(0)P(1)1P
16、(0)，P(0)，即，x2.故文娱队共有5人(2)P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为：012PE012.19(本小题12分)已知椭圆C：1(ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，过A、B、F三点的圆恰好与直线l：xy30相切，求椭圆方程解析：(1)如图，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意知OCD为直角三角形，且OCb，ODa，ODC，CDc(c为椭圆的半焦距)，椭圆的离心率eco
17、s.(2)由(1)知，设a2m(m0)，则bm，椭圆方程为1.A(0，m)，AF2m，kAF，AFB60，在RtAFB中，有FB4m，B(3m,0)，设FB的中点为G，则G(m,0)，AFB为直角三角形，过A、B、F三点的圆的圆心为斜边FB的中点G，且半径为2m，圆G与直线l：xy30相切，2m，m是大于0的常数，m1，故所求的椭圆方程为1.20(本小题14分)已知数列an中，a2p(p是不等于0的常数)，Sn为数列an的前n项和，若对任意的正整数n都有Sn.(1)证明：数列an为等差数列；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn；(3)记cnTn2n，是否存在正整数N，使得当nN时，恒有cn(
18、，3)，若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由解析：(1)由S1a10得a10, 当n2时，anSnSn1an1，故(n2)an(n1)an1，故当n2时，anan1a2(n1)p，由于n2时a2p，n1时a10，也适合该式，故对一切正整数n，an(n1)p，an1anp，由于p是常数，故数列an为等差数列(2)Sn，bn22()，Tn2n2(1)2n2(1)2n32()(3)cnTn2n32()3对所有正整数n都成立；若cn，即32()，记f(n)，则f(n)单调递减，又f(6)，f(7)，故只要取N6，则当nN时，f(n).故存在正整数N，使得当nN时，恒有cn
19、(，3)N可以取所有不小于6的正整数21(本小题14分)已知函数f(x)x2ax1lnx.(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)f(x)2xa，f(x)在(0，)上为减函数，x(0，)时2xa0恒成立，即a2x恒成立设g(x)2x，则g(x)2.x(0，)时4，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)g()3，a3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f(x)0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2ax10有两个不等的正实数根故a应满足a2，当a2时，f(x
20、)0有两个不等的正实数根，不妨设x1x2，由f(x)(2x2ax1)(xx1)(xx2)知，0xx1时f(x)0，x1xx2时f(x)0，xx2时f(x)0，当a2时，f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)22(本小题10分)选修41：几何证明选讲如图，AD是O的直径，AB是O的切线，直线MN交AD的延长线于点C，BMMNNC1，求AB的长和O的半径解析：AD是O的直径，AB是O的切线，直线BMN是O的割线，BAC90，AB2BMBN.BMMNNC1，2BM2AB2，AB.AB2AC2BC2，2AC29，AC.CNCMCDCA，2CD，CD.O的半径为(CACD).23(本小题10分)选修44：坐标系与参数方程已知点A是曲线2sin上任意一点，求点A到直线sin()4的距离的最小值解析：曲线2sin化为直角坐标方程为x2(y1)21.直线sin()4化为直角坐标方程为xy80.圆心(0,1)到直线的距离为d.则圆上的点到直线的最小距离为.即点A到直线sin()4的最小距离为.24(本小题10分)选修45：不等式选讲已知a0，b0，c0，求证：()()9.解析：由于a0，b0，c0，设x，y，z，得x0，y0，z0.(xyz)()(3)(3)9.当且仅当xyz时等号成立即()()9，当且仅当时等号成立