1、平面与平面垂直(二)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1设两个平面互相垂直，则()A一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直【解析】选B.由面面垂直的定义、性质定理可知，B正确2(2021石家庄高一检测)已知，是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是()m，n，且mn，则；m，n，且mn，则；m，n，且mn，则；m，n，且mn，则.A B C D【解析】选D.对于，当m，n，且mn时，有或，
2、相交，所以错误；对于，当m，n，且mn时，有或或，相交且不垂直，所以错误；对于，当m，n，且mn时，得出m，所以，正确；对于，当m，n，且mn时，成立，所以正确综上知，正确的命题序号是.3如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的射影H必在()A.直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部【解析】选A.在四面体ABCD中因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC内的射影H必在AB上【加固训练】 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1
3、在面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线CA上 DABC内部【解析】选A.CA面ABC1面ABC面ABC1，所以C1在平面ABC上的射影H必在直线AB上4(2021北京高一检测)已知平面与互相垂直，与交于l，m和n分别是平面，上的直线若m，n均与l既不平行，也不垂直，则m与n的位置关系是()A可能垂直，但不可能平行B可能平行，但不可能垂直C可能垂直，也可能平行D既不可能垂直，也不可能平行【解析】选D.假设mn，因为n与l既不垂直，也不平行，所以nlO，过O在内作直线cl，如图所示，因为，所以c，又因为m，所以cm，又因为mn，cnO，所以m，l，所以ml，这与m与l既不垂直
4、，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不垂直；假设mn，则m，m，l，所以ml，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行【加固训练】 (2021北京高一检测)三棱锥VABC中，侧面VBC底面ABC，ABC45，VAVB，ACAB.则()AACBC BVBACCVABC DVCAB【解析】选C.因为ABC45，ACAB，所以ABC为等腰直角三角形，且ACBABC45，所以AC与BC不垂直，即选项A错误；过点V作VOBC于O，连接OA，因为侧面VBC底面ABC，面VBC面ABCBC，所以VO面ABC，即V在底面AB
5、C上的投影为点O，因为BC面ABC，所以VOBC.因为VAVB，所以OAOB，OABOBA45，所以OABC，因为VO、OA面VOA，VOOAO，所以BC面VOA，因为VA面VOA所以VABC，即选项C正确；由三垂线定理知，若VBAC，VCAB，则BCAC，BCAB，这与ACBABC45相矛盾，即选项B和D均错误二、填空题(每小题5分，共10分)5(2021吕梁高一检测)如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_【解析】BCA90，PC平面ABC，可知BC平面PCA，(1)与PC垂直的直线有：AC，BC，AB.(
6、2)与AP垂直的直线有：BC.答案：(1)AC，BC，AB(2)BC6如图所示，等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，则直线SC与平面ABS所成的角为_【解析】因为平面ABS平面ABCD，平面ABS平面ABCDAB，CB平面ABCD，CBAB.所以CB平面ABS.所以BSC是直线SC与平面ABS所成的角因为SBABBC，CBSB，所以BSC45，所以直线SC与平面ABS所成的角为45.答案：45三、解答题(每小题10分，共20分)7如图，l，AB，ABl，BC，DE，BCDE.求证：ACDE.【证明】因为，l，AB，ABl，所以AB.因为DE，所以ABDE.因为BCDE，A
7、BBCB，所以DE平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACDE.8如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；【证明】(1)因为PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，所以PA平面ABC，BD平面ABC，所以PABD.(2)因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC，由(1)知PA平面ABC，因为PA平面PAC，所以平面PAC平面ABC，因为平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，所以BD平面PAC，因为BD平面BDE，所以平面BDE平
8、面PAC.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1如图1，已知PABC是直角梯形，ABPC，ABBC，D在线段PC上，ADPC.将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2.对于图2，下列选项错误的是()A.平面PAB平面PBC BBC平面PDCCPDAC DPB2AN【解析】选A.如图，图1中ADPC，则图2中PDAD，又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PD平面ABCD，则PDAC，故选项C正确；由PD平面ABCD，PD平面PDC，得平面PDC平面ABCD，而平面PDC平面ABCDCD，BC平面
9、ABCD，BCCD，所以BC平面PDC，故选项B正确；因为ABAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，则ABPA，即PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB2AN，故选项D正确因此错误的只能是A.2(多选题)如图，在三棱锥ABCD中，CDBC，ABBD，平面ABC平面BCD，则下列判断中正确的有()A.CDACBAB平面BCDCADBCD图中恰有三对平面互相垂直【解析】选ABD.对于选项A.因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BDCBC，CD平面BDC，又CDBC，所以CD平面ABC，因为AC平面ABC，AB平面ABC，所以CDAC
10、，故A正确，对于选项B.由上可知，CDAB，因为ABBD，又因为BDCDD，所以AB平面BCD，故B正确，C若ADBC，因为CDBC，又因为ADCDD，所以BC平面ACD，又因为AC平面ACD，所以BCAC，由上可知ABBC，那么ABAC，矛盾，故C错误对于选项D，由AB平面BCD，CD平面ABC，知有三对平面互相垂直二、填空题(每小题5分，共10分)3如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_【解析】如图，取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD
11、，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，平面ABCD平面DCEFCD，MG平面ABCD，所以MG平面DCEF，又NG平面DCEF，所以MGNG，所以MN.答案：【加固训练】 在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，且ABAD，则AD与平面BCD所成的角是_【解析】过A作AOBD于O点，因为平面ABD平面BCD，所以AO平面BCD，则ADO即为AD与平面BCD所成的角因为BAD90，ABAD，所以ADO45.答案：454.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中ADBD，BAC30，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是_
12、当平面ABD平面ABC时，C，D两点间的距离为；在三角板ABD转动过程中，总有ABCD；在三角板ABD转动过程中，三棱锥DABC体积的最大值为.【解析】取AB中点O，连接DO，CO，因为ADBD，所以DO1，AB2，OC1因为平面ABD平面ABC，DOAB，所以DO平面ABC，DOOC，所以DC，正确；若ABCD，则AB平面CDO，ABOC，因为O为中点，所以ACBC，BAC45与BAC30矛盾，所以错误；当DO平面ABC时，棱锥的高最大，此时V棱锥ACBCDO11.正确答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面AB
13、CD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：(1)BC平面PEB；(2)平面PBC平面ADMN.【证明】(1)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，所以BEAD.又因为侧面PAD是正三角形，且E为中点，所以PEAD，又因为PEBEE，所以AD平面PBE.又因为ADBC，所以BC平面PEB.(2)由(1)知AD平面PBE，又PB平面PBE，所以ADPB.又因为PAAB，N为PB的中点，所以ANPB.且ANADA，所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC.所以平面PBC平面ADMN.6如图所示，ABC是边长为2的正三角形若A
14、E1，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BDCD，且BDCD.(1)求证：AE平面BCD；(2)求证：平面BDE平面CDE.【证明】(1)取BC的中点M，连接DM，因为BDCD且BDCD，BC2.所以DM1，DMBC.又因为平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABCBC，所以DM平面ABC，又AE平面ABC，所以AEDM.又因为AE平面BCD，DM平面BCD，所以AE平面BCD.(2)连接AM，由(1)知AEDM，又AE1，DM1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DEAM.又ABC是正三角形，M为BC的中点，所以AMBC，因为平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABCBC，所以AM平面BCD，所以DE平面BCD.又CD平面BCD，所以DECD.因为BDCD，BDDED，所以CD平面BDE.因为CD平面CDE，所以平面BDE平面CDE.10