1、事件的相互独立性【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立的事件【解析】选D.因为P(A1)，若A1发生了，P(A2)；若A1不发生，P(A2)，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件【加固训练】 (多选题)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A“第
2、一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为3或4”D掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”【解析】选AC.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1，3，5点，P(A)，P(B)，事件AB为出现3点，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件 2某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每
3、名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为()A0.5 B0.48 C0.4 D0.32【解析】选B.设事件A“第一次投进球”，B“第二次投进球”，则得2分的概率PP(A)P(B)0.4(10.4)(10.4)0.40.48.3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A B C D【解析】选A.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2.故甲队获
4、得冠军的概率为P1P2.4.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A B C D【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F中至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)P(R)1，所以灯亮的概率P1P(T)P(R)P(C)P(D).二、填空题(每小题5分，共10分)5在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为.答案：6
5、周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是_【解析】设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)P(A)P(B)0.8P(B)0.6，故P(B)0.75.答案：0.75三、解答题(每小题10分，共20分)7一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男
6、)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P
7、(B)成立从而事件A与B是相互独立的8某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话【解析】设Ai第i次拨号接通电话，i1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为12A3，于是所求概率为P(12A3)；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A11A212A3，由于事件A1，1A2，12A3两两互斥，于是所求概率为P(A11A212A3)P(A1)P(1A2)P(12A3).【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种
8、开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p()A B C D【解析】选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1(1p)4，解得p或p(舍去).2(多选题)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中()A都抽到某一指定号码的概率为0.05B都没有抽到某一指定号码的概率为0.95C恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095D至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975【解析】选C
9、D.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)P(A)P(B)0.050.050.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P( )P()P()0.950.950.902 5；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)U(B)表示由于事件A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A )P(B)P(A)P() P()P(B)0.05(10.05)(10.05)0
10、.050.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)U(A )U( B)表示由于事件AB，A 和 B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)P(A )P( B)0.002 50.0950.097 5.二、填空题(每小题5分，共10分)3同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i1，
11、2，3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.6，P(A3)0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3A12A31A2A3发生，故所求概率为PP(A1A2A3A12A31A2A3)P(A1A2A3)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.答案：0.464事件A，B，C相互独立，如果P(AB)，P(C)，P(AB )，则P(B)_，P( B)_【解析】因为P(AB )P(AB)P()P()，所以P()，即P(C).又P
12、( C)P()P(C)，所以P()，P(B).又P(AB)，则P(A)，所以P(B)P()P(B).答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0，1，2.Bi表示事件“一
13、个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0，1，2.据题意有：P(A0)，P(A1)2，P(A2)，P(B0)，P(B1)2.所求概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2)所求概率P1.6如图所示，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作；系统N1，N2正常工作的概率分别为P1，P2.(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求P1，P2；(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是P(0P1)，求P1，P2，并比较P1，P2的大小关系【解析】(1)设A“元件A正常工作”，B“元件B正常工作”，C“元件C正常工作”，则A，B，C相互独立P(A)0.5，P(B)0.6，P(C)0.8，故P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.50.60.80.24，P2P(A)1P( )0.5(10.40.2)0.46.(2)P(A)P(B)P(C)P，P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)P3，P2P(A)1P( )P1(1P)2，P1P2P3P1(1P)22P32P22P2(P1)，又0P1，故P1P20，即P1P2.