1、江浦高级中学2021届高三上学期期中考试模拟（二）数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. （2017全国文）已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若，则（）A. B. C. D. 3. 设命题，；命题：，则下列命题为真的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知直线平面，直线平面，则下列结论中错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 不等式的解集是( )A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象()A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位7. 已知函数满足，且是偶函数，当时
2、，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则=（ ）A. 2 B. 6 C. D. 二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是( )A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的离心率为C. 曲线经过双曲线C的一个焦点 D. 直线与双曲线C有两个公共点10. 定义,如.当时,有解,则下列对实数的取值描述正确的是( )A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. D. 11. 已知,则下列选项中图象的对称轴是( )A. B. C. D. 12. 给出下列不等式,其中恒成立的是( )A. B. C. D.
3、 三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 【变式训练1】某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数大约为_.14. 若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是_.15. 【2019年高考全国III卷理数13】已知,为单位向量,且,若,则_.16. 函数的所有零点之和为_.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 设的内角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）求的值.18. 如图,在底面是正方形的四棱锥中,点在底面的射影恰是的中点. (
4、1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值大小.19. 已知等差数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，求20. 为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程; (2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划年在该地区发放粮食补贴额亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测年该地区的粮食产量.
5、(参考公式:,)21. 如图,某小区内有两条互相垂直的道路与,平面直角坐标系的第一象限有一块空地,其边界是函数的图象,前一段曲线是函数图象的一部分,后一段是一条线段.测得到的距离为米,到的距离为米,长为米. (1)求函数的解析式; (2)现要在此地建一个社区活动中心,平面图为梯形(其中,为两底边),问:梯形的高为多少米时,该社区活动中心的占地面积最大,并求出最大面积.22. 已知椭圆()的半焦距为,圆与椭圆有且仅有两个公共点,直线与椭圆只有一个公共点. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线过椭圆的左焦点,且与椭圆分别交于,两点,点的坐标为,证明为定值.江浦高级中学2021届高三上学期期中
6、考试模拟（二）数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. （2017全国文）已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，所以，选A.2. 若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】利用共轭复数的概念及复数的运算法则求解. 因为，则，所以，则.故选C.3. 设命题，；命题：，则下列命题为真的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】命题，当时即可，命题为真； 命题：，当时，两式相等，命题为假； 则为真，故选A4. 已知直线平面，直线平面，则下列结论中错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】A项,由,可知
7、,又,故A正确；B项,因为,又,故B正确；C项,又,故C正确；D项,因为,可知平行,相交,异面,所以D错误.综上可知应选D.5. 不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,解得.6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象()A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位【答案】C【解析】据已知得, 又，将其图象向右平移个单位后所得函数解析式为，符合题意7. 已知函数满足，且是偶函数，当时，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题
8、意，知函数的周期， 当时，又因为是偶函数，当，结合函数的周期，可以作出，由函数的大致图像，知道有4个零点，即函数与直线（直线恒过定点）有4个交点，由图像易知.8. 已知数列满足，则=（ ）A. 2 B. 6 C. D. 【答案】D【解析】， ，, 数列周期为4的数列，, 并且有.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是( )A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的离心率为C. 曲线经过双曲线C的一个焦点 D. 直线与双曲线C有两个公共点【答案】A,C【解析】设双曲线方程为代入得,即,A正确;,B错;焦点在上,C正确; 联立可得,只有个交点,D错
9、.10. 定义,如.当时,有解,则下列对实数的取值描述正确的是( )A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. D. 【答案】B,C【解析】由题可知,当时,有解,令,将不等式问题转化为,令, ,取得最大值,.11. 已知,则下列选项中图象的对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】B,D【解析】由题得,令, 所以其对称轴为,令得;令得.12. 给出下列不等式,其中恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B,C,D【解析】选项A中,当,同号时,当,异号时,则,所以选项A中的不等式不恒成立.选项B中,由于,且,所以,则(,且)恒成立. 选项C中,当时,显然成立;易知函数在区间上单调递减,
10、在上单调递增, 当时,所以,即; 当时,所以,即; 当时,故选项C中的不等式恒成立. 选项D中,.综上可得,恒成立的为BCD.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 【变式训练1】某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数大约为_.【答案】200【解析】发芽的概率为0.9,所以不发芽的概率为0.1,所以1000粒中大约有粒,每粒没发芽需要补种2粒,所以大约要补种粒.14. 若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是_.【答案】【解析】因为抛物线,所以焦点坐标为,准线方程为, 因为点到焦点的距离为,根据抛物线定义,则到准线的
11、距离也为, 所以点到轴的距离为.15. 【2019年高考全国III卷理数13】已知,为单位向量,且,若,则_.【答案】【解析】, ,.16. 函数的所有零点之和为_.【答案】【解析】构造函数, 时,函数,的图象都关于直线对称, 函数的图象关于直线对称. 时,函数,的图象的交点共有个, 函数的所有零点之和等于.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 设的内角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）. （2）【解析】（1）由余弦定理得. 又,解得. （2）在中， 由正弦定理得. ，为锐角
12、. . .18. 如图,在底面是正方形的四棱锥中,点在底面的射影恰是的中点. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值大小.【答案】见解析.【解析】(1)证明:依题意,得平面, 又平面,. 又,平面. 又平面,平面平面. (2)解:取的中点,依题意,得,两两互相垂直, 以,为,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得,所以, 则, 设是平面的法向量, 则令,则. 设是平面的法向量, 则令,则, , 二面角的正弦值为.19. 已知等差数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，求【答案】（1）；（2）故或【解析】（1）设数列的公差为，则，.； （
13、2），则. 由，则， 而，联立方程， 则或， 故或. 当，； 当，. 故或.20. 为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程; (2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划年在该地区发放粮食补贴额亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测年该地区的粮食产量. (参考公式:,)【答案】见解析【解析】(1)由已知数据,可得,. 代入公式,经
14、计算,得,. 所求关于的线性回归直线方程为. (2)由题意,知,代入(1)中所得线性回归直线方程,计算得.年该地区的粮食产量大约为万亿吨.21. 如图,某小区内有两条互相垂直的道路与,平面直角坐标系的第一象限有一块空地,其边界是函数的图象,前一段曲线是函数图象的一部分,后一段是一条线段.测得到的距离为米,到的距离为米,长为米. (1)求函数的解析式; (2)现要在此地建一个社区活动中心,平面图为梯形(其中,为两底边),问:梯形的高为多少米时,该社区活动中心的占地面积最大,并求出最大面积.【答案】(1); (2)当梯形的高为米时,活动中心的占地面积最大,最大面积为平方米【解析】(1)以代入,得,
15、因为,得直线:, 所以. (2)设梯形的高为米,则,且, 所以,所以梯形的面积,由, 令,得,列表如下: 极大值 所以当时,取得极大值,即为最大值为. 答:当梯形的高为米时,活动中心的占地面积最大,最大面积为平方米.22. 已知椭圆()的半焦距为,圆与椭圆有且仅有两个公共点,直线与椭圆只有一个公共点. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线过椭圆的左焦点,且与椭圆分别交于,两点,点的坐标为,证明为定值.【答案】见解析.【解析】(1)依题意得,则, 故椭圆的标准方程为. (2)证明:当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 代入,得, 不妨设,因为, 所以,所以; 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,则直线方程为, 代入,可得, 设,则, 因为, 所以, 综上所述,为定值.