1、阶段过关练(一)(45分钟85分)一、选择题(每小题5分，共35分)1(2021浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“acbc”是“ab”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积及充分条件和必要条件【解析】选B.若ca且cb，则acbc0，但a不一定等于b，故充分性不成立若ab，则acbc，故必要性成立故“acbc”是“ab”的必要不充分条件2(2021北京高一检测)如图，向量ba等于()A.2e14e2 B4e12e2Ce13e2 De13e2【解析】选C.如图：设a，b，则bae13e2.3(2021合肥高一检
2、测)已知向量a与b共线，下列说法正确的是()Aab或abBa与b平行Ca与b方向相同或相反D存在实数，使得ab【解析】选B.向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；当a0，b0时，满足a与b共线，但不存在实数，使得ab，故D错4在ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且APAB，BQBC.若a，b，则()Aab BabCab Dab【解析】选A.由已知可得，.，ab.5(2021西安高一检测)如图，在C中，弦AB的长度为4，则的值为()A.12 B8 C4 D2【解析】选B.设圆C
3、的半径为r，CAB，则cos ，所以cos 4r8.6(多选题)已知向量a(，1)，b(cos ，sin )(0)，则下列命题正确的是()A若ab，则tan B若b在a上的投影为，则向量a与b的夹角为C存在，使得|ab|a|b|Dab的最大值为【解析】选BCD.若ab，则abcos sin 0，则tan ，故A错误；若b在a上的投影为，且|b|1，则|b|cos a，b，cos a，b，故B正确；若(ab)2a2b22ab，(|a|b|)2|a|2|b|22|a|b|，若|ab|a|b|，则ab|a|b|cos a，b|a|b|，即cos a，b1，故0，|ab|a|b|，故C正确；abcos
4、 sin sin ()，因为0，00DS4【解析】选BD.由20，2，可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点，且B为AQ的中点，如图所示：对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，故B正确；对于C，cos 0，故C错误；对于D，设ABC的高为h，SABCh3，即h6，则APQ的面积SAPQh2h64，故D正确二、填空题(每小题5分，共20分)8已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为CD的中点，则_【解析】22221221.答案：19在静水中划船的速度为40m/min，水流的速度为20m/min，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到
5、达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是_【解析】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，由题意可知，且，20，40，在直角三角形ACD中，DCAB20，AD40，所以DAC30，所以DAB120，所以船行进的方向与水流方向所成角是120.答案：12010如图，在矩形ABCD中，2，F为DE的中点，若mn，则mn_【解析】由F为DE的中点，利用向量平行四边形法则可得：，利用向量三角形法则知：，所以，因为mn，所以m，n，所以mn.答案：11(2021绍兴高一检测)已知圆内接四边形ABCD的边长BC2AB2，CDDA，则AC_，四边形ABCD的面积为_【解析】设ACx，由余弦定理可得cos
6、ABC，cos ADC由题意可得ABCADC，所以，解得x，所以cos ABC，ABC，所以ADC.S四边形ABCDSABCSADC12.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)12已知向量a(1，1)，|b|，且(2ab)b4.(1)求向量a与b的夹角；(2)求|ab|的值【解析】(1)由题意，(2ab)b2abb22ab24，所以ab1，所以abcos 1，cos ，所以；(2)|ab|2(ab)2a22abb22226，所以|ab|.13(2021佛山高一检测)设向量a(cos 2x，cos x)，b(2sin x，)，c(12sin x，3)，x.(1)若ab，求|2ac|的值；(2
7、)设f(x)a(bc)，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值【解析】(1)因为向量a(cos 2x，cos x)，b(2sin x，)，且ab，所以cos 2x2sin x cos x，即cos 2xsin 2x.若cos 2x0，则sin 2x0，与sin 22xcos 22x1矛盾，故cos 2x0.于是tan 2x.又x，所以2x，x，所以2a(1，)，c(12sin x，3)(0，3)，则2ac(1，2)，所以|2ac|.(2)因为b(2sin x，)，c(12sin x，3)，所以bc(1，2)，所以f(x)a(bc)(cos 2x，cos x)(1，2)cos 2x2cos
8、x2cos 2x2cos x122又x，所以cos x，所以当cos x，即x时，f(x)取到最小值；因为1.所以当cos x，即x时，f(x)取到最大值.14(2021新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BD sin ABCa sin C. (1)证明：BDb；(2)若AD2DC，求cos ABC.【解析】(1)在ABC中，因为BD sin ABCa sin C，所以，联立得，即acbBD，因为b2ac，所以BDb；(2)若AD2DC，ABC中，cos C，BCD中，cos C，因为，所以(a2b2c2)3，整理得a2b2c23a23b2，所以2a2b2c20，因为b2ac，所以6a211ac3c20，即a或ac，若a时，b2ac，则cos ABC(舍)，若ac，b2acc2，则cos ABC.