1、余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为()(精确到0.1 km，参考数据：1.732)A11.4 km B6.6 km C6.5 km D5.6 km【解析】选B.因为AB1 000 km，C753045，所以BCsin 30.所以航线离山顶hBCsin 75sin 75sin (4530)11.4.所以山高为1811.46.6(km).【
2、加固训练】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) mB180(1) mC120(1) m D30(1) m【解析】选C.如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m).在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m).所以BCCDBD6060(2)120(1)(m).2一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海
3、里)分别为()A北偏东80，20()B北偏东65，20()C北偏东65，20()D北偏东80，20()【解析】选C.由题可知ABC105，在ABC中，AB40海里，BC40海里，所以AC2AB2BC22ABBCcos ABC402(40)224040cos (6045)3 2001 600，所以AC20()海里，所以sin BAC，所以BAC45，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65，路程为20()海里3如图所示，某工程中要将一个长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A.100 m B100 mC50() m D200 m【解析】
4、选A.如图所示BAC45，在ABC中，由正弦定理得，所以BCsin 45100.4(2021杭州高一检测)小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(1515) m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20 m B30 mC20 m D30 m【解析】选D.由题意知：CAM45，AMC105所以ACM30在RtABM中，AM，在ACM中，由正弦定理得所以CM，在RtDCM中，CDCMsin 6030.二、填空题(每小题5
5、分，共10分)5如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【解析】根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得，所以AM100 m.在RtAMN中，sin 60，所以MN100150(m).答案：1506九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75角，折断部分与地面成45角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是_米(结果保留根号).【解析】如图
6、所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则AOB75，ABO45，所以OAB60.由正弦定理知，所以OA米，AB米，所以OAAB米答案：(55)三、解答题(每小题10分，共20分)7(2021海口高一检测)如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60.(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长【解析】(1)设
7、AB的高度为h米，在CAB中，ACB45，有CBh米在OAB中，因为AOB30，AEB60，可得OBh米，EBh米，由题意得OEhh12，解得h6米，故烟囱AB的高度为6米(2)由(1)知，在OBC中，OB18米，OC12米，CB6米，由余弦定理得cos COB，所以在OCE中，CE2OC2OE22OCOEcos COB，得CE4米8在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】设缉
8、私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，在ABC中，因为AB1，AC2，BAC120，所以由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos BAC(1)2222(1)2cos 1206，所以BC，且sin ABCsin BAC，所以ABC45，所以BC与正北方向成90角所以CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sin BCD，所以BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1甲船在岛A的正南方向B处，以每小时4千米的速度向岛A航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度
9、向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A分钟 B分钟C21.5分钟 D2.15小时【解析】选A.如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.因为BAC120，所以DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t10028.当t小时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为60分钟2(多选题)(2021益阳高一检测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac，tan B2，ABC的面积为2，则可能取到的值为()A4 B2 C4 D2【解析】选AC.因为ta
10、n B2，所以cos B，sin B，又Sac sin B2，所以ac6，由余弦定理可得b2a2c22ac cos Ba2c24(ac)28，所以|ac|4当且仅当|ac|时，等号成立，故的最小值为4，可能取到的值为AC选项二、填空题(每小题5分，共10分)3在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进10米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是_米【解析】作出示意图如图所示，由题意知ABC，ACD2，ADE4，ACBC30米，ADCD10米在ACD中，cos 2，所以sin 2.在RtACE中，AEAC sin 23015(米).答案：154一艘
11、船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿_方向行驶_海里至海岛C.【解析】如图，因为B在A的北偏东70方向，C在B的北偏东10方向，故ABC1807010120，又ABBC，故CABACB30，故C在A的北偏东703040方向AC10.故此轮船沿着北偏东40方向行驶10海里到达海岛C.答案：北偏东4010【误区警示】从A到C的方向，是指的直线AC与正北方向的夹角，别理解错了意思三、解答题(每小题10分，共20分)5某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海上油井P在南偏东60，向北航行40分钟
12、后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶40分钟到达C点(1)求PC间的距离；(2)在点C测得油井的方位角是多少？【解析】(1)在ABP中，AB3020海里，APB30，BAP120，根据正弦定理得：，则BP20(海里).在PBC中，BC3020(海里)，由已知PBC90，所以PC40(海里).(2)在PBC中，PBC90，BC20海里，PC40海里，所以sin BPC，所以BPC30.因为ABPBPC30，所以CPAB.所以在点C测得油井P在C的正南方向40海里处6在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘船按一固定方向做匀速直线航行，上午11
13、：00时，测得此船在岛北偏东15，俯角为30的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45且俯角为60的C处(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离【解析】(1)如图，在RtPAB中，PBA30，所以AB(km).同理，在RtPCA中，AC km.在ACB中，CAB154560，所以由余弦定理得BC km，所以2 km/h，所以船的航行速度为2 km/h.(2)作ADBC于点D，连接PD.当船行驶到D时，离A点距离最小，从而离P点距离最小此时，cos CBA，所以sin CBA，即，所以AD km.所以PD km.即船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.9