1、北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）一.选择题(共12小题)1.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.2.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A. B. y=C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数， 在区间 上单调递减，函数 在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基
2、础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断
3、方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.设均为单位向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解： ，因为均为单位向量，所以 ab，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结
4、论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件5.定积分的值为( )A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，可知求解，即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A. 3600种B. 1440种C. 4820种D. 4800种【答案】A【解析】【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可.【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，种第二步，将甲乙2人插入6个空中，种则不同的排法种
5、数是种故选：A【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题.7.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 、D. 【答案】C【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数【详解】解： ，故它的展开式中含的项有的和故系数为，故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）P（B），需要先求出AB同时发生的概率
6、，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率代入算式得到结果解：P（A|B）=P（AB）P（B），P（AB）=P（B）=1-P（）=1-=1-=P（A/B）=P（AB）P（B）=故选A9.已知幂函数在上是减函数，则实数（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 【答案】A【解析】【分析】先由幂函数求出的值，再根据函数的单调性确定答案.【详解】由于函数是幂函数，所以或.当时，在上不是减函数，所以舍去.当时，在上是减函数.故选A【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. B. C. D.
7、 【答案】D【解析】【详解】函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.【此处有视频，请去附件查看】11.已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（ ）.A. 或B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解集得出，求出解集即可【详解】一元二次不等式的解集为或，则的解集为，则可化为；解得，所以所求不等式的解集为故选【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查指数不等式的解法，是基础题12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数
8、取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二.填空题(共4小题)13.已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_.【答案】8.【解析】【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.14.设是等
9、差数列，且，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据列方程求解公差，即可.【详解】设等差数列的公差为，解得.所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式，属于较易题.15.倾斜角为且过点的直线方程为_【答案】.【解析】【分析】直接根据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.【详解】依题意得，化简得.【点睛】本小题主要考查直线方程点斜式，考查倾斜角和斜率的对应关系，属于基础题.16.已知，则_.【答案】【解析】【分析】先对函数求导，然后求出，进而求出答案【详解】由题可得，令，则，解得，所以，则【点睛】本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题三.解答题(
10、共6小题)17. 已知函数f（x）=2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期为.（）求的值；（）求f（x）的单调递增区间.【答案】（）（）（）【解析】试题分析：（）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求的值；（）根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析：（）因为，所以的最小正周期依题意，解得（）由（）知函数的单调递增区间为（）由，得所以单调递增区间为（）【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合
11、函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列的前项和为，.(1)求数列的前项和为；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)将变形整理为，则数列符合等差数列定义，首项，公差，求解数列的通项公式，即可.(2)先根据(1)中的，求出，从而确定，再根据错位相减法求解，即可.【详解】(1)即数列是首项为，公差为的等差数列.则，即(2)由(
12、1)可知.当时，当时，当时，成立.所以，则得即【点睛】本题考查定义法求数列的通项公式，以及错位相减法求前项和，属于中档题.19.如图，在三棱柱ABC中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交【答案】(1)见解析（2）；（3）见解析【解析】【详解】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再
13、根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.详解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），设平面BCD的法向量为，令a=2，则b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC
14、1的法向量为，由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为（）平面BCD的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2），与不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲
15、、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课 程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望【答案】(1);(2) 见解析.【解析】【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率.(2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立，.(2)，,因此，的分
16、布列如下：因为所以考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.21.已知椭圆的右焦点为，且经过点.（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】()由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（）设联立得，.直线，令得，即；同理可得
17、.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22.已知函数 . （1）求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值.【答案】（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，方程对应的，当，即时，当时，在上单调递减； 当时，方程的两根为，且 ， 此时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时， 此时当，单调递增，当时，单调递减； 综上：当时，单调递增，当时， 单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减； （2）原式等价于，即存在，使成立设，则， 设，则，在上单调递增又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即， 由题意可知，又，最小值为.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果