1、第5课时等差数列的应用1.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.2.能应用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位.问题1:等差数列通项公式的性质(1)若m+n=p+q,则,特别:若m+n=2p,则.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列,公差为.(3)数列an、bn都是等差数列,公差分别为d1,d2,则数列can,c+an,pan
2、+qbn也是等差数列,其中c、p、q均为常数,公差分别为、.问题2:等差数列的前n项和的简单性质(1)已知an是等差数列,求前n项和的最值时:若a10,d0,且满足则前n项和Sn;若a10,且满足则前n项和Sn.(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,公差为.(3)在等差数列an中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇=;S偶S奇=;当项数为奇数2n+1时,S奇-S偶=;S偶S奇=.问题3:等差数列的判定方法(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证为同一常数.(2)等差中项法:验证2an-1=(n3,nN+)成立.(3)通项公式法:验证an=.(4)前n项和公式法:验证Sn=.问
3、题4:通项公式,前n项和公式的函数意义(1)当d0时,通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数.(2)将公式Sn=na1+变形整理得Sn=n2+(a1-)n.故当d0时,Sn是关于n的一个二次函数,它的图像是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点.(3) =n+(a1-)是关于n的一次函数(d0)或常数函数(d=0),即数列是以为公差的等差数列.1.等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a6+a7等于().A.21B.28C.32D.352.在等差数列an中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于().A.13B.
4、26C.52D.1563.等差数列an的前n项和为Sn,若a1+a9+a11=30,那么S13的值是.4.已知an为等差数列,若0,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大,并说明理由.已知an是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.求数列an的通项公式.已知两个等差数列an、bn,它们的前n项和分别是Sn、Sn,若=,求.在等差数列an中,若a5+a7=4,a6+a8=-2.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn的最大值.1.在等差数列an中,an0,+2a3a8=9,那么S10等于().A.-9B.-11C.-13D.-1
5、52.设等差数列an的前n项和是Sn,若-ama10,且Sm+10B.Sm0C.Sm0,且Sm+10D.Sm0,且Sm+103.已知数列an的前n项和为Sn,点(n,)在直线y=x+4上,则an=.4.等差数列an的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,求数列的前10项和.(2013年安徽卷)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于().A.-6B.-4C.-2D.2考题变式(我来改编):第5课时等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)am+an=ap+aqam+an=2ap(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2问题2:(1)最大最小(2)m2d(3)nda
6、n+1问题3:(1)an-an-1(2)an+an-2(3)pn+q(4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=x2+(a1-)x(3)基础学习交流1.B因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+a6+a7=7a4=28.2.B2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,a4+a10=4,S13=26.3.130设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,an是首项为正,公差为负的递减等差数列.由-1得a10+a110,a1
7、10,S20=10(a10+a11)0,Sn取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为an=a1+(n-1)d,则即把代入得(a1+2d)(a1+12d)=7,a1=4-7d,代入,(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=.当d=时,a1=-,an=-+(n-1)=n-;当d=-时,a1=,an=+(n-1)(-)=-n+.(法二)a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得解得或由a3=1,a13=7得d=.an=a3+(n-3)=n-.由a3=7,a13=1,同理可得:an=-n+.【小结】注意
8、到等差数列中,若m,n,p,qN+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列an为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),S3=9,S6=36,S6-S3=27,a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列an是等差数列,前n项和是Sn,那么Sm,S2m-Sm,S(k+1)m-Skm,(kN+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:解之得公差d的取值范围为-d-3.(2)(法一)由da2a3a12a
9、13,因此,在S1,S2,S12中Sk为最大值的条件为:ak0且ak+10,即a3=12,d0,2-k3-.-d-3,-4,得5.5k7.k是正整数,k=6,即在S1,S2,S12中,S6最大.(法二)由da2a12a13,因此若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1,S2,S12中的最大值.又2a7=a1+a13=S130,a70,a6-a70,故在S1,S2,S12中S6最大.(法三)依题意得:Sn=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=n-(5-)2-(5-)2,d0,n-(5-)2最小时,Sn最大;-d-3,6(5-)6.5.从而,在正整数中,当
10、n=6时,n-(5-)2最小,S6最大.【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.思维拓展应用应用一:a1+a2+a3=12,a2=4.a8=a2+(8-2)d,16=4+6d,d=2,an=a2+(n-2)d=4+(n-2)2=2n.应用二:=,=.应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得解得所以数列an的通项公式为an=20-3n.(2)由解得n.因为nN+,所以n=6,故前n项和Sn的最大值为S6=617+(-3)=57.基础智能检测1.D由+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,an0,a3+a8=-3,S10=5(a3+a8)=5(-3)=-15.2.A由题意,得:-ama10,Sm+1=(m+1)0.3.2n+3由题意得=n+4,即Sn=n2+4n,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2+4(n-1)=2n+3,当n=1时,a1=S1=5符合上式,an=2n+3.4.解:an=2n+1,a1=3,Sn=n2+2n,=n+2,是公差为1,首项为3的等差数列,前10项和为T10=310+1=75.全新视角拓展A根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2an=an-1+an+1等差m2d