1、1.2余弦定理课后篇巩固探究A组1.在ABC中,已知a=2,b=3,cos C=13,则边c长为()A.2B.3C.11D.17解析:因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-22313=9,所以c=3.答案:B2.在ABC中,若C=60,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析:因为在ABC中,C=60,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.答案:C3.已知ABC的三边满足a2+b2=c2-3ab,则ABC的最大内角为()A.6
2、0B.90C.120D.150解析:由已知得,c2=a2+b2+3ab,所以ca,cb,故C为最大内角.由cos C=a2+b2-c22ab=-32,得C=150,故选D.答案:D4.在ABC中,若a=1,B=45,SABC=2,则ABC外接圆的直径为()A.43B.6C.52D.62解析:因为SABC=12acsin B=12csin 45=24c=2,所以c=42.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-214222=25,所以b=5.所以ABC外接圆直径2R=bsinB=52.答案:C5.已知在ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是32,则ABC的面积是()
3、A.1534B.154C.2134D.3534解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin A=32.又ABC,所以A=120,所以cos A=-12,即b2+c2-a22bc=-12,所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.所以a=7,b=5,c=3,A=120.SABC=12bcsin A=125332=1534.答案:A6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=14,则c=.解析:因为cos B=14,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a2a14,解得a=2,所以c=4.答案:47.设A
4、BC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=42bc,则sin A的值为.解析:由已知得b2+c2-a2=423bc,于是cos A=423bc2bc=223,从而sin A=1-cos2A=13.答案:138.已知在ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则BABC=.解析:在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则BABC=cacos B=caa2+c2-b22ac=12(a2+c2-b2)=12(52+72-62)=19.答案:199.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79.(1)求a,c的值;(2
5、)求sin(A-B)的值.解(1)由b2=a2+c2-2accos B,得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=429,由正弦定理得sin A=asinBb=223.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A=1-sin2A=13.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=10227.10.导学号33194039已知在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,
6、sin A+cos A),p与q是共线向量,且6A2.(1)求角A的大小;(2)若sin C=2sin B,且a=3,试判断ABC的形状,并说明理由.解(1)因为pq,所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos 2A-2cos2A=0,所以1+2cos 2A=0,所以cos 2A=-12.因为6A2,所以32A,所以2A=23,所以A=3.(2)ABC是直角三角形.理由如下:由cos A=12,a=3及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.联立可得b2+c2-bc=3,c=2b,解得b=
7、1,c=2,所以a2+b2=(3)2+12=4=c2,所以ABC是直角三角形.B组1.在ABC中,若ABC的面积S=14(a2+b2-c2),则C=()A.4B.6C.3D.2解析:由S=14(a2+b2-c2),得12absin C=142abcos C,所以tan C=1,又C(0,),所以C=4.答案:A2.在ABC中,若sin A-sin Acos C=cos Asin C,则ABC的形状是()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin Acos C=cos Asin C可化为a1-a2+b2-c22ab=b2+c2-a2
8、2bcc,整理,得a=b,所以ABC是等腰三角形,选B.答案:B3.已知ABC各角的对边分别为a,b,c,满足ba+c+ca+b1,则角A的范围是()A.0,3B.0,6C.3,D.6,解析:将不等式ba+c+ca+b1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2bc,所以cos A=b2+c2-a22bcbc2bc=12,所以00),从而a=k2,b=k,c=32k,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=k24+k2-34k22k2k=12,又因为C(0,),所以C=3,所以角C的大小是3.答案:37.导学号33194041在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
9、tan C=37.(1)求cos C的值;(2)若CBCA=52,且a+b=9,求c.解(1)因为tan C=37,所以sinCcosC=37,又因为sin2C+cos2C=1,解得cos C=18,由tan C0知,C为锐角,所以cos C=18.(2)由CBCA=52,得abcos C=52,即ab=20.又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=41-22018=36,故c=6.8.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosBcosC=-b2a+c.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=4,求ABC的面积.解(1)由余弦定理知,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.将上式代入cosBcosC=-b2a+c,得a2+c2-b22ac2aba2+b2-c2=-b2a+c,整理得a2+c2-b2=-ac.所以cos B=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12.因为B为三角形的内角,所以B=23.(2)将b=13,a+c=4,B=23代入b2=a2+c2-2accos B,即b2=(a+c)2-2ac-2accos B得,13=16-2ac1-12,所以ac=3.所以SABC=12acsin B=334.