1、单元素养评价(三)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0【解析】选C.由ab知12=m2,解得m=或m=-.2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有()A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),b-3=2a-6,2a-b=3.3.在ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5)
2、,则等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).4.(2020西昌高一检测)已知a,b是不共线的向量,=a+b,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则、满足()A.=-3B.=+3C.=+2D.=-2【解析】选B.由A,B,C三点共线,得=t+(1-t) =(1+t)a+(t-2)b,因为a,b是不共线的向量,所以=t+1,=t-2,所以=+3.5.若P是直线P1P2上的一点,且=,则当-10;当P在线段P1P2的延长线上时,-1;当P在线段P2
3、P1的延长线上时,-10,y0,则4x+y=(4x+y)=+2=3,取等号时2x=y=1,即4x+y的最小值为3.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题不正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则abD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|【解析】选AB.单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.10.下列命题中正确的是()A.-=B.+=0C.0
4、=0D.+=【解析】选AD.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0=0;+=.11.如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+e2=0,则=0【解析】选BC.由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一
5、个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即1=2=1=2=0时,这样的有无数个,或当1e1+1e2为非零向量,而2e1+2e2为零向量(2=2=0),此时不存在.12.(2020济南高一检测)如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是()A.-6B.1C.5D.9【解析】选BC.如图所示:设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可,讨论如下:(1)因为=a,所以(x,y)=(1,0);
6、(2)因为=b,所以(x,y)=(0,1);(3)因为=+=a+2b,所以(x,y)=(1,2);(4)因为=+=+=2-=2a+3b,所以(x,y)=(2,3);(5)因为=+=a+b,所以(x,y)=(1,1);(6)因为=+=a+3b,所以(x,y)=(1,3).所以x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是-5,5,故选项B,C均符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若=(2,8),=(-7,2),则=_.【解析】=-=(-9,-6),所以=(-3,-2).答案:(-3,-2)14.已知作
7、用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是_.【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).答案:(9,1)15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=_.【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.(2020郑州高一检测)已知点P是ABC所在平面内的一点,设F为AB的中点,若=+,且=,则=_,=_.【解析】如图,F为AB的中点,设D为AF的中
8、点,E为AC的中点,因为=+,所以可得=+,整理得+2=0.又+=2,所以=-,所以SAPC=SAPF,又SAPF=SAPB,所以=.答案:-1四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.(1)如图,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.(2)如图,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.(2)=-=b-a.因为O是BD的中点,G是DO的中点,所以=(b-a),所以=+=a+(b-a)=a+b.18.(12分)(202
9、0成都高一检测)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.(1)判断a,b是否共线.(2)若ac,求x的值.【解析】(1)若a与b共线,由题知a为非零向量,则设b=a,即6m-4n=,所以得到=2且=-2,所以不存在,即a与b不共线.(2)因为ac,则设c=r a,即m+xn=3r m+2r n,即,解得x=.19.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示.(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=1+2,所以(8,3)=1(2,-1)+2(3,0)=(21+3
10、2,-1),所以解得所以=-3+.(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有14-(m-2)10,所以m6.20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.【证明】如图,D,E,F分别是ABC三边上的中点,设=a,=b,ADBE=G.设=,=.则=+=(b-a)+=(b-a)+=b-a+=(-2)a+(1-)b,又=(+)=-a+b,所以解得则=+=a+=a+=a+b,=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.21.(12分)在风速为75(-)km/h的西风
11、中,飞机以150 km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.【解析】如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,|=|va|,|=|v|,|=|vb|.作ADBC,CDAD于点D,BEAD于点E,则BAD=45,设|=150,|=75(-),则|=|=|=75,所以|=75.从而|=150,CAD=30,所以|vb|=150,所以无风时飞机的航行速度为150 km/h,方向为北偏西60.22.(12分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.【解析】(1)P与A重合时,m(-2)+3+2=0,所以m=.P与B重合时,3m+2+2=0,所以m=-.(2)P与A,B不重合时,设=,则0.设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,2-y).所以所以把x,y代入mx+y+2=0可解得=,又因为0,所以0.所以m.由(1)(2)知,所求实数m的取值范围是.