1、密云区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义计算即可；【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题.2.函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.【详解】最小正周期故选：【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题.3.下列函数中，既是偶函数又在单
2、调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，为指数函数，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；对于，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于，为偶函数，在不是增函数，不符合题意；对于，为偶函数，且当时，为增函数，符合题意；故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题4.命题“”的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题的否
3、定为，故选：C【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：12346.12.93.51那么函数一定存在零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点【详解】解：因为函数是定义在上的连续函数，且，根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点故选：A【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题6.函数的图象
4、如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）A. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C. 每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位D. 每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用的图象变换规律，得出结论【详解】解：根据函数的图象，设，可得，再根据五点法作图可得，故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
5、变），即可得到函数的图象，故选：A【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值的图象变换规律，属于基础题7.定义域均为的两个函数，“为偶函数”是“，均为偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由函数，定义在上，令，则的定义域也为，关于原点对称，只要看与的关系即可得出为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件【详解】解：令，由，均为偶函数，则，故是偶函数，即必要性成立；反之，设，是偶函数，而，均不是偶函数，故充分性不成立；则“为偶函数”是“，均为偶函数”的必要
6、不充分条件故选：B【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题8.已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，从而得解【详解】解：因为，可作函数图象如下所示：依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令，则，即，所以，则，所以，因，在上单调递增，所以，即故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用属于中档题二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9._
7、【答案】【解析】分析】根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：故答案为：6【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题.10.函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】解:，函数当且仅当，即时，上式取等号.故答案为: .【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题.11.函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】由 解不等式可得函数的定义域【详解】解：由，可解得，函数的定义域为，故答案为：【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题12.给出下列三个论断：；且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个
8、论断作为结论，写出一个真命题：_【答案】推出，推出【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得【详解】解：由；且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：（1）若，且，则；或（2）若，且，则；对于（1）若且，则，由不等式的性质可得即；对于（2）若且，则，由不等式的性质可得即；故答案为：推出，推出【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13.若函数为奇函数，则_【答案】【解析】【分析】由函数为在定义域上为奇函数，则必有，然后利用待定系数法求解【详解】解：函数为奇函数当时，定义域为，且为奇函数，满足条件；当时，定义域为，且为奇函数，满足条件；故
9、答案为：【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解，属于基础题14.里氏震级M的计算公式为：M=lgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍【答案】6，10000【解析】【详解】试题分析：根据题意中的假设，可
10、得M=lgAlgA0=lg1000lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgAlgA0=lg1000lg0.001=3（3）=6设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，故答案耿：6，10000点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，
11、演算步骤或证明过程.15.已知集合，（1）当时，求，；（2）当时，求，；（3）当时，求的范围【答案】（1），； （2），； （3）【解析】【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；（2）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；（3）由，即与无公共部分，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）当时， 所以， . （2）当时， 所以， . （3）因为， 所以的范围是.【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.16.已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为 （1）求 和的值；（2）求的值【答案】（1） （2）【解
12、析】【分析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得，再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；【详解】解：（1）根据题意， 所以， （2） 因为， 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示（1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间；（2）求函数在上的解析式；（3）解不等式.【答案】（1）图见解析；函数的单调增区间是，单调减区间是 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的对称性作
13、出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间；（2）当时，再根据当时，可得再根据函数为偶函数，可得，由此能求出函数的解析式（3）因为，当时，当时，；由函数图象读出解集即可；【详解】解：（1）如图作函数图象. 函数的单调增区间是：，单调减区间是： （2）因为时，若，则，又因为是定义在上的偶函数，所以，当时，. 综上： （3）因当时，即；当时，即；所以解集为：【点睛】本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题18.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）求函数的零点【答案】（1）；单调递增区间为，；单调递减区间为 ，；
14、 （2）或，.【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出的单调区间；（2）令，即，即或， ，解得即可；【详解】（1），即，所以的最小正周期. 因为的单调增区间为，令，解得，.因为的单调减区间为，令，解得，.所以的单调递增区间为，. 单调递减区间为 ，.（2）函数的零点，令，即.或， 解得或，所以的零点为或，【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题19.已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若函数为偶函数，求的值；
15、（3）设函数，若对任意，存在，使得，求的取值范围【答案】（1）1 （2） （3）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函数的最大值即可；（2）根据偶函数图象关于轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得的值；（3）求解的值域和的值域，可得，即可求解实数的取值范围【详解】（1）当时，故当时，的最大值是1 （2）因为函数为偶函数，所以，可得， 即实数的值为. （3），所以的值域为当时，存在，使得，设的值域， 转化为：函数的值域是的值域的子集；即：当时，函数，对称轴，当时，即，可得；可得：；当时，即，可得，或，显然，不满足，此时无解；当时，即，可得，；不满足，此时无解；综上可得实数的取值范围为【点睛】本题
16、主要考查偶函数的性质的应用，二次函数的最值问题，存在性问题，属于中档题.20.对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；（3）若集合是“可分集合”.证明：为奇数；求集合中元素个数的最小值.【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）见解析；最小值是7【解析】【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设，若去掉的元素为，则有，或者；若去掉的元素
17、为，则有，或者，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；（3）设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.【详解】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者；若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者.由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；由、，得，矛盾.因此当时，集合一定不是“可分集合”
18、；（3）设集合所有元素之和.由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.综上所述，集合中元素个数为奇数.当时，显然任意集合不是“可分集合”.当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”.当时，集合，因为：3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，则集合是“可分集合”.所以集合中元素个数的最小值是7.【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.