1、数 乘 向 量(15分钟30分)1.点M在AB上,且=,则等于()A.-3B.C.- D.3【解析】选B.如图=,所以=.【补偿训练】(2020扬州高一检测)已知点P在直线AB上,且=4,设=,则实数=_.【解析】因为,所以P是四等分点,因此=.答案:2.式子:+=0,0=0,-=,其中不正确的个数为()A.1B.2C.3D.0【解析】选C.因为+=00,0=00,-=,所以都不正确.3.点C在线段AB上,且=,=,则为()A.B.C.-D.-【解析】选D.由题意知=,即=-,所以=-,故=-.4.已知|a|=4,|b|=8,若两向量同向,则向量a与向量b的关系为b=_a.【解析】由于|a|=
2、4,|b|=8,则|b|=2|a|,又两向量同向,故b=2a.答案:25.已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且ABAC=23.用表示;用表示.【解析】如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且ABAC=23,所以AB=2BC,AC=3BC.如图b,向量与方向相同,所以=2;如图c,向量与方向相反,所以=-3.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,D,E分别是ABC的边AB,AC的中点,则()A.=5且=2.5B.=5且=2C.=6且=2D.=6且=3【解析】选B.因为DE是ABC的中位线,所以BC=2DE,即=2.根据勾股定理可求得=
3、5.2.已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为()=5;=41;=-.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题意知,=-5,=-,=41,所以正确.3.(2020苏州高一检测)在ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()A.(a+b)B.(a-b)C.a+bD.a+b【解析】选D.在ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=+=+=a+b.4.若5=-3,且|=|,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【解析】选D.由5= -3知,且|,故此四边形为梯形,又因为|=|,所以梯形ABCD为等腰梯形.二、多选题(每小题
4、5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.向量a=2e,b=-6e ,则下列说法正确的是()A.abB.向量a,b 方向相反C.=3 D.b=-3a 【解析】选ABD.因为b=-6e=-3=-3a,所以ab,a,b 方向相反,且3=.6.(2020泰安高一检测)设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若=+,则点M是边BC的中点B.若=2-,则点M在边BC的延长线上C.若=-,则点M是ABC的重心D.若=x+y,且x+y=,则MBC的面积是ABC面积的【解析】选CD.A中:=+-=-,即:=-,则点M不是边BC的中点.B中:=2-=-,所以=,则点
5、M在边CB的延长线上,所以B错误.C中:设BC中点D,则=-=+=2,由重心性质可知C成立.D中:=x+y且x+y=2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以MBC的面积是ABC面积的.【光速解题】选CD.本题中CD选项较难判断,所以重点放在AB选项的判断上,通过AB判断(见本题解析)易知两选项不正确,所以用排除法选CD.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知=-,=,则的值为_.【解析】因为=-,所以P,P1,P2三点共线,且P2在线段PP1的反向延长线上,所以=, 所以=.答案:【补偿训练】已知点M是ABC所在平面内的一点,若
6、满足6-2=0,且SABC=SABM,则实数的值是_.【解析】记2=,因为-+2-2=0,所以=2,SABC=SABN. 又因为SABM=SABN,所以SABC=3SABM,从而有=3.答案:38.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=_,=_.【解析】因为-3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:22四、解答题(每小题10分,共20分)9.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.【解析】如图,取AB的中点P,连接EP,FP,在ABC中,因为EP是ABC的中位线,所以=a,在ABD中,因为FP是ABD的中位线,所以
7、=-b,在EFP中,=+=-a-b=-(a+b).10.已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍.(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.(3)-4a与4a是一对相反向量.(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.【解析】(1)真命题.因为0,所以a与a同向.因为|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.(2)真命题.因为-30,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.(4)假命
8、题.因为a-b与b-a是相反向量,所以a-b与-(b-a)是相等向量.(5)假命题.0a=0,所以0a与b共线.1.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是()A.-=B.+=C.-=D.+=【解析】选A.在题干所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.在A中,-=-=,故A正确;在B中,+=+=,故B错误;在C中,-=-=,故C错误;在D中,+=+,=-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.2.设V是
9、平面向量的集合,映射f:VV满足f(a)=则对任意的a,bV,R.求证:f(|a|a)=f(a).【证明】若a=0,则f(|a|a)=f(a)=0;若a0,则f(|a|a)=a=a,且f(a)=a,所以f(|a|a)=f(a).综上可得对任意向量a,均有f(|a|a)=f(a).【补偿训练】(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理.设ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心,下列四个选项中结论错误的是()A.=2B.+=0C.设BC边中点为D,则有=3D.=【解析】选CD.如图,A.由题得=2,ODBC,AHBC,所以ODAH,所以=2,所以该选项正确;B.+=2=-,所以+=0,所以该选项正确;C.因为D为BC中点,G为ABC的重心,所以=2,又因为GH=2OG,AGH=DGO,所以AGHDGO,所以=2,故C选项错误;D.向量,的模相等,方向不同,故D选项错误.