1、第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课后训练巩固提升A组1.已知x-2,0,cos x=45,则tan 2x等于()A.724B.-724C.247D.-247解析:因为cosx=45,x-2,0,所以sinx=-35.所以tanx=-34.所以tan2x=2tanx1-tan2x=2-341-342=-247,故选D.答案:D2.已知是第三象限角,cos =-513,则sin 2等于()A.-1213B.1213C.-120169D.120169解析:因为是第三象限角,且cos=-513,所以sin=-1213.所以sin2=2sincos=2-1213-513=120169.答案:D3.若
2、tan-4=2,则tan 2等于()A.-3B.34C.-34D.3解析:因为tan-4=tan-11+tan=2,所以tan=-3.所以tan2=2tan1-tan2=2(-3)1-(-3)2=34.答案:B4.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sinx2cosx2,则f12的值为()A.-433B.8C.43D.-43解析:因为f(x)=2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x+cos2xsinxcosx=4sin2x,所以f12=4sin6=8.答案:B5.已知sin 2=3542,tan(-)=12,则tan(+)等于()A.-2B.-1C.-1011D.-211
3、解析:因为42,所以22.因为sin2=35,所以cos2=-45,所以tan2=-34.所以tan(+)=tan2-(-)=tan2-tan(-)1+tan2tan(-)=-34-121-3412=-2.答案:A6.已知sin 2=23,则cos2+4=.解析:cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-232=16.答案:167.已知为第二象限角,sin =35,则tan 2=.解析:因为sin=35,且为第二象限角,所以cos=-1-sin2=-45.所以tan=sincos=-34.所以tan2=2tan1-tan2=-247.答案:-2478.若cos4-=35,则sin
4、2=.解析:因为sin2=cos2-2=2cos24-1,又cos4-=35,所以sin2=2925-1=-725.答案:-7259.求下列各式的值:(1)cos5cos25;(2)12-cos28;(3)tan12-1tan12.解:(1)cos5cos25=2sin5cos5cos252sin5=2sin25cos2522sin5=sin454sin5=14.(2)12-cos28=121-2cos28=-12cos4=-24.(3)tan12-1tan12=sin12cos12-cos12sin12=sin212-cos212sin12cos12=-2cos6sin6=-23212=-2
5、3.10.已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f()=3210,求sin 2的值.解:(1)因为f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12=12(1+cosx)-12sinx-12=22cosx+4,所以函数f(x)的最小正周期为2,值域为-22,22.(2)由(1)知f()=22cos+4=3210,所以cos+4=35.所以sin2=-cos2+2=-cos2+4=1-2cos2+4=1-1825=725.B组1.已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x,若f2=34,则sin 2=()
6、A.-14B.732C.-716D.78解析:因为f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x=cos2x+sin2x,所以f2=sin+cos=34.所以两边平方得1+sin2=916,所以sin2=-716,故选C.答案:C2.在ABC中,若3(tan B+tan C)=tan Btan C-1,则sin 2A等于()A.-32B.32C.-12D.12解析:在ABC中,因为3(tanB+tanC)=tanBtanC-1,所以tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC=-33,所以B+C=150.所以A=30.所以sin2A=sin60=32.答案:B3.已知为第二象
7、限角,sin +cos =33,则cos 2等于()A.-53B.-59C.59D.53解析:sin+cos=33,(sin+cos)2=13.1+sin2=13.sin2=-23.为第二象限角,cos-sin0,cos0,且|cos|sin|,cos2=cos2-sin20,cos2=-1-sin22=-1-232=-1-49=-53.答案:A4.已知角,均为锐角,且3sin =2sin ,3cos +2cos =3,则+2的值为()A.3B.2C.23D.解析:由题意得sin=23sin,cos=1-23cos,2+2得cos=13,代入式,得cos=79.由,均为锐角,知sin=223,
8、sin=429.所以tan=22,tan=427,tan2=2tan1-tan2=-427,tan(+2)=tan+tan21-tantan2=0.又+20,32,故+2=.答案:D5.已知sin +cos =32,则cos 2+cos 2的取值范围是.解析:因为sin+cos=32,所以cos2+cos2=1-2sin2+2cos2-1=2(sin+cos)(cos-sin)=3(cos-sin).由sin+cos=32,得cos=32-sin.所以sin12,1.所以cos-sin=32-2sin-12,12.所以cos2+cos2-32,32.答案:-32,326.已知tan2=2,则1
9、-cos+sin1+cos+sin=.解析:tan2=2,1-cos+sin1+cos+sin=2sin22+2sin2cos22cos22+2sin2cos2=2sin2sin2+cos22cos2cos2+sin2=tan2=2.答案:27.已知3sin =sin(2+),且k2,+2+k(kZ),求证:tan(+)=2tan .证明:因为sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin;sin(2+)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin,所以3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin,即sin(+)cos=2cos
10、(+)sin.又因为k2,+2+k(kZ),所以cos0,cos(+)0.所以等式的两边同除以cos(+)cos,得tan(+)=2tan.8.已知cos =-34,sin =23,是第三象限角,2,.(1)求sin 2的值;(2)求cos(2+)的值.解:(1)因为是第三象限角,cos=-34,所以sin=-1-cos2=-74.所以sin2=2sincos=2-74-34=378.(2)因为2,sin=23,所以cos=-1-sin2=-53.因为cos=-34,所以cos2=2cos2-1=2916-1=18.所以cos(2+)=cos2cos-sin2sin=18-53-37823=-5+6724.