1、第一章基本知能检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个三角形的内角分别为45与30，如果45角所对的边长是4，则30角所对的边长为(C)A2 B3 C2 D3解析设所求边长为x，由正弦定理，得，x2，故选C2在ABC中，已知a4，b6，C120，则sin A的值是(A)ABCD解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C1636246cos12016362476，c2.由正弦定理，得，sin A.3在ABC中，A60，a，b4.满足条件的ABC(A)A无解B有一解C有两解D不能确定解析
2、4sin602，即absinA，ABC不存在4在ABC中，ab10c2(sin Asin B10sin C)，A60，则a等于(A)AB2C4D不确定解析由正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin CABC的外接圆的半径为1，2R2.a2sin A.5若，则ABC的形状为(B)A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析解法一：由正弦定理，得即tanAtanBtanC，A、B、C(0，)，ABC，ABC为等边三角形解法二：由余弦定理，得cosA，cosB，cosC，又，b2c2a2a2c2b2a2b2c2，abc，故选B6ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为
3、a、b、c，asinAsinBbcos2Aa，则(D)A2B2CD解析asinAsinBbcos2Aa，sin2AsinBsinBcos2AsinA，sinBsinA，ba，.7在ABC中，A60，b1，ABC的面积为，则为(B)ABCD2解析由bcsinA得c4.由余弦定理，得a2b2c22bccosA13，故a.所以，故选B8在ABC中，A，BC3，则ABC的周长为(D)A4sin(B)3B4sin(B)3C6sin(B)3D6sin(B)3解析令ACb，BCa，ABc，则abc3bc32R(sin Bsin C)3336sin(B)9如图，一栋建筑物AB的高为(3010) m，在该建筑物
4、的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面点M(B、M、D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为(B)A30 mB60 mC30 mD40 m解析如图所示，设AECD，垂足为E，则在AMC中，AM20，AMC105，C30，AC6020，CE3010.CDCEEDCEAB3010301060，故选B10在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A(A)A30B60C120D150解析由sinC2sinB及正弦定理，得c2b，a2b2bc6b2，即a27b2.由余弦定理，得cosA，
5、又0A180，A30.11在ABC中，若b2，A120，三角形的面积S，则三角形外接圆的半径为(B)AB2C2D4解析在ABC中，b2，A120，三角形的面积Sbcsin Ac，c2b，故B(180A)30.再由正弦定理，得2R4，三角形外接圆的半径R2.故选B12在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosAsinA0，则的值是(C)A1BCD2解析将cosAsinA0，整理得(cosAsinA)(cosBsinB)2，即cosAcosBsinBcosAsinAcosBsinAsinBcos(AB)sin(AB)2，cos(AB)1，sin(AB)1，AB0，AB，即AB，
6、C.利用2R，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，则.(R为ABC的外接圆半径)二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为.解析设ABC中，ABAC12，BC6，由余弦定理cosA.A(0，)，sinA，外接圆半径r.14三角形的三边长为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为. 解析设三边长分别为k1，k，k1(k2，kN)，则，2k4，k3.故三边比分别为2、3、4，则最小角的余弦值为.15已知ABC中，AC4，BC2，BAC60，ADBC于D，则的值为6.解析在ABC中，AC
7、4，BC2，BAC60，由余弦定理得cos60，解得AB6(负值舍去)因为RtABD与RtACD有公共边AD，所以62BD242(2BD)2，解得BD，所以CD，所以CD.故6.16某人在高出海面600 m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角为45，则这两个航标间的距离为600m.解析如图所示由题意可知，PC600，PCB90，BPC45，BC600.又PAC30，PCA90，AC600 .在ACB中，ACB30，由余弦定理，得AB2BC2AC22BCAC cos306002(600)226006006002，AB600.三、解答题(本大题共6个小题，共7
8、4分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)在ABC中，已知A45，cosB.(1)求cosC的值；(2)若BC10，D为AB的中点，求CD的长解析(1)A45，cosA，sinA.又cosB，sinB.cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB.(2)由(1)知cosC，sinC，由正弦定理，得，AB14.BD7.在BCD中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcosB10049210737，CD.18(本题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若sin(A)2cosA，求A的值；(2)若cosA，b3c，求sinC的值解
9、析(1)由题设知sinAcoscosAsin2cosA从而sinAcosA，所以cosA0，tanA.因为0A，所以A.(2)由cosA，b3c及a2b2c22bccosA，得a2b2c2，故ABC是直角三角形，且B.所以sinCcosA.19(本题满分12分)在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知cos2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值解析(1)由cos2A3cos(BC)1，得2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(cosA2)0，解得cosA或cosA2(舍去)因为0A0且sinCAD0，sinBAD
10、且sinCAD，sinBACsin(BADCAD)sinBADcosCADsinCADcosBAD()，在ABC中，由正弦定理，得BC3.21(本题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0.sinA0，sinBcosB0.又cosB0，tanB.又0B，B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosBac1，cosB，b23(a)2.又0a1，b21，即b1.22.(本题满分14分)如图，已知扇形AOB，O为顶点，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA相交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值.解析CPOB，CPOPOB60，OCP120.在OCP中，由正弦定理，得，即，CPsin.又，OCsin(60)故POC的面积是S()CPCOsin120sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)cos(260)，(0，60)，当30时，S()取得最大值为.