1、直线、圆的位置关系一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离（正确答案）B解：圆的标准方程为M：，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆M：截直线所得线段的长度是，即，即，则圆心为，半径，圆N：的圆心为，半径，则，即两个圆相交故选：B根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键2. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为 A. B. 1 C. 2 D.
2、 4（正确答案）C解：由，得，圆心坐标为，半径为3如图：当过点的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦AB最短，则最短弦长为故选：C化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是基础题3. 直线l过点，被圆C：截得的弦长为，则直线l的方程是 A. B. C. D. 或（正确答案）D解：圆C：的圆心坐标，半径为2，直线l过点，被圆C：截得的弦长为，圆心到所求直线的距离为：1，设所求直线为：即，解得或，所求直线方程为或故选：D求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程本题考查直
3、线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力4. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. （正确答案）A解：直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，令，得，令，得，点P在圆上，设，点P到直线的距离：，面积的取值范围是：故选：A求出，设，点P到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围本题考查三角表面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题5. 一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为 A. B. C.
4、D. （正确答案）C解：如图所示，由题意可设入射光线PQ的方程为：，令，则，可得反射光线QAB的方程为：则，解得：入射光线所在直线的斜率的取值范围为故选：C如图所示，由题意可设入射光线PQ的方程为：，可得反射光线QAB的方程为：利用直线与圆相交可得，解出即可得出本题考查了入射光线与反射光线的性质、对称性、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6. 直线l：为参数与圆C：为参数的位置关系是 A. 相离 B. 相切C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心（正确答案）D解：把圆的参数方程化为普通方程得：，圆心坐标为，半径，把直线的参数方程化为普通方程得：，圆心到
5、直线的距离，又圆心不在直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心故选：D把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：为圆心到直线的距离，r为圆的半径，直线与圆相交；，直线与圆相切；，直线与圆相离，是基础题7. 若直线与圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. （正确答案）D解：圆化为，圆的圆心坐标，半径为 直线与圆有两个不同的公共点， 故选D利用圆心到直线
6、的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题8. 设直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则实数a的值为 A. B. C. D. （正确答案）B解：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，由为等边三角形，得圆心到直线的距离，解得：故选B由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r，利用为等边三角形，点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中由为等边三角形，得圆心到直线的距离是解本题的关键9.
7、已知直线l过圆的圆心，且与直线垂直，则l的方程是 A. B. C. D. （正确答案）D解：由题意可得所求直线l经过点，斜率为1，故l的方程是，即，故选：D由题意可得所求直线l经过点，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题10. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为 A. 4 B. 12 C. 16 D. 6（正确答案）D解：圆的半径为1，圆心 直线截得圆的弦长为2，直线经过圆的圆心可得：则当且仅当，时取等号故选：D利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查
8、转化思想以及计算能力11. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是 A. B. C. D. （正确答案）B解：圆即，故弦心距再由弦长公式可得，故选：B把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题12. 若直线与圆相切，则a的值为 A. 1 B. C. D. （正确答案）D解：圆的圆心坐标为，半径为1，直线与圆相切，圆心到直线的距离，即，解得：故选D由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值本题考查了直线与圆的位置关系
9、，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则圆C的面积为_ （正确答案）解：圆C：的圆心坐标为，半径为，直线与圆C：相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，即，解得：，故圆的半径故圆的面积，故答案为： 圆C：的圆心坐标为，半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档14. 已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则 _ （正确答案）4解：由题意，圆心到直
10、线的距离， 直线l的倾斜角为，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，故答案为：4先求出m，可得直线l的倾斜角为，再利用三角函数求出即可本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础15. 在上随机地取一个数k，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_（正确答案）解：圆的圆心为，半径为3圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交相交的概率为故答案为：利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型
11、，同时考查了计算能力，属于基础题16. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为_（正确答案）或解：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，解得，直线的倾斜角为或故答案为：或求出圆心到直线的距离，由直线被圆截得的弦长为，得，由此能求出直线的倾斜角本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数点P在曲线C上，Q在直线l上，若，求线段的最小值；设直线l
12、与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率k的范围（正确答案）解：时，易知直线l的方程为，分 曲线C：的普通方程为分 由题意知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以分 因为时，直线l与C没有交点，所以直线l可化为普通方程为，分 令，即，当圆心到直线的距离等于半径时，即，解得，此时它们相切，分 所以分点P在曲线C上，Q在直线l上，若，利用的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求线段的最小值；设直线l与曲线C有两个不同的交点，当圆心到直线的距离等于半径时，即，即可求直线l的斜率k的范围本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
13、18. 已知直线l经过点，倾斜角，写出直线l的参数方程；设l与圆相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积（正确答案）解：直线的参数方程为，即分 把直线代入，得，则点P到A，B两点的距离之积为2利用公式和已知条件直线l经过点，倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；由题意将直线代入，从而求解此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必的热点问题19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线l与AB平行求直线l的斜率；已知圆C：与直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程；在的圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若
14、不存在，说明理由（正确答案）解：点，直线l与AB平行，直线l的斜率圆C：，圆C的标准方程为：，圆心，半径为2，由知直线l的斜率，设直线l的方程为，则圆心C到直线l的距离，而，解得或，故直线l的方程为或假设圆C上存在点P，设，则，整理，得，即，圆与圆相交，点P的个数为2由点，直线l与AB平行，利用斜率公式和直线与直线平行的性质能求出直线l的斜率圆C的标准方程为：，圆心，半径为2，设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，由，求出或，由此能求出直线l的方程假设圆C上存在点P，设，则，由，得到，从而求出圆与圆相交，由此能求出点P的个数本题考查直线的斜率、直线方程、满足条件的点的个数的求法，涉及到斜率、直线、圆、直线与直线平行、点到直线距离公式、圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
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