1、3基本不等式31基本不等式 学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式知识链接下列说法中，正确的有_(1) a2b22ab(ab)2；(2)(ab)20；(3) a2b2(ab)2；(4) (ab)2(ab)2.答案(1)(2)解析当a，b同号时，有a2b2(ab)2，所以(3)错误；当a，b异号时，有(ab)2(ab)2，所以(4)错误预习导引1重要不等式如果a，bR，那么a2b22ab，(当且仅当ab时取“”)2基本不等式(1)如果a，b都是非负数，那么，当且仅当ab时，等号成立(2)我们称为基本不等式，其
2、中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数3基本不等式的常用推论(1)ab()2 (a，bR)；(2)当ab0时，2；当ab0，b0，ab1，求证：(1)(1)9.证明方法一因为a0，b0，ab1，所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立)方法二(1)(1)111，因为a，b为正数，ab1，所以ab()2，于是4，8，因此(1)(1)189(当且仅当ab时等号成立)1不等式m212m中等号成立的条件是()Am1 Bm1Cm1 Dm0答案A2若0abBbaC
3、baDba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.3设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4C2 D8答案B解析ab3，2a2b2224.4设a2，则a的最小值是_答案4解析a2，a20.a(a2)2224.当且仅当a2，即a3时，等号成立1.两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取”这句话的含义要有正确的理解一方面，当ab时，；另一方面，当时，也有ab.2由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab()2；(2) (a，b均为正实数)；(3)2(a，b同号)；(4)(ab)()4(a，b均为正实数)；(5)a2b2c2abbcca.
4、一、基础达标1若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是()A. Ba2b2C2ab Da答案B解析a2b2(ab)22ab(ab)22()2.又a2b22ab(ab)20，a2b22ab.0ab且ab1，a0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误对于B、C，当a0，b0，22.3若x0，y0，且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.1答案B解析若x0，y0，由xy4，得1，(xy)()(2)(22)1.4设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4C1 D.答案B解析因为3a
5、3b3，所以ab1，(ab)()2224，当且仅当，即ab时，“”成立，故选B.5若a1，则a有最_(填“大”或“小”)值，为_答案大1解析a1，a1答案D解析ab22，A成立；(ab)()224，B成立；a2b22ab0，2，C成立；ab2，1，不等式两边同乘，得，所以D不成立9设0a12答案C解析0a1b，logab0，logba0，(logab)(logba)(logab)()2，logablogba2.10若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为_答案，)解析x0，0，易知a0.，x3.x0，x3235(x1时取等号)，5.a.11已知xy0，xy1，求证：2.证明xy1，(xy)22.当且仅当即时取等号12已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2()，ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时等号成立)(2)5529.当且仅当即b2a时取“”，故9.三、探究与创新13已知a，b，c为正实数，且abc1.求证：(1)(1)(1)8.证明a，b，c为正实数，且abc1，1，同理1，1.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得(1)(1)(1)8.