1、2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=45，a=6，b=，则B的大小为（）A30B60C30或150D60或1202直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D43若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2CDa|c|b|c|4已知数列bn是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A16B8C2D45下列说法中，正确的是（）A垂直于同一直线
2、的两条直线互相平行B垂直于同一平面的两条直线互相平行C垂直于同一平面的两个平面互相平行D平行于同一平面的两条直线互相平行6一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）Ax+y2=0Bxy2=0Cxy+2=0Dx+y+2=07已知等差数列an的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（）A100B120C390D5408某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这船与灯塔的距离是（）A15海里B30海里C15海里D15海里9已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的
3、中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角为（）A90B45C60D3010周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是（）A25B50C100D20011设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD412定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m314在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），点B为
4、点（1，3，1）在平面yOz上的投影，则|AB|=15在ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=16在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2+y28x+12=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1（I）求数列an，bn通项公式；（II）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn18如图所示，在RtABC中，已知A（2，0），直角顶点B
5、（0，2），点C在x轴上（）求RtABC外接圆的方程；（）求过点（4，0）且与RtABC外接圆相切的直线的方程19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CDDA1（I）求证：BC1平面DCA1（II）求证：平面ABC平面ABB1A1（III）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sinAsinC）=sinB（ab）（I）求角C的大小；（II）若c=2，求a+b的取值范围21如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平面SAD平面ABCD，E是
6、线段AD上一点，AE=ED=，SEAD（I）证明：BESC（II）（文）若SE=1，求点E到平面SBC的距离（理）若SE=1，求二面角BSCD平面角的余弦值22设数列an的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式an；（）求数列|ann2|的前n项和2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=45，a=6，b=，则B的大小为（）A30B60C30或150D
7、60或120【考点】正弦定理【分析】由正弦定理求得sinB=，再由大边对大角求得B的值【解答】解：在ABC中，由正弦定理可得，即，解得sinB=ba，BA=45，B=30，故选A2直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=圆心C到直线x+2y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+y
8、22x4y=0截得的弦长为故选C3若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2CDa|c|b|c|【考点】不等关系与不等式【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题【解答】解：对于A，取a=1，b=1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+10，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C4已知数列bn是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A16B8C2D4【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等差
9、数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：b9是1和3的等差中项，2b9=1+3，b9=2由等比数列bn的性质可得：b2b16=4，故选：D5下列说法中，正确的是（）A垂直于同一直线的两条直线互相平行B垂直于同一平面的两条直线互相平行C垂直于同一平面的两个平面互相平行D平行于同一平面的两条直线互相平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：在A中：垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故A错误；在B中：由线面垂直的性质定理得垂直于同一平面的两条直线互相平行，故B正确；在C中：垂直于同一平面的两个平面相交或平行，故C错误；
10、在D中：平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面故选：B6一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）Ax+y2=0Bxy2=0Cxy+2=0Dx+y+2=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），点P（5，3），再用用两点式求得反射光线QP所在的直线方程【解答】解：由题意可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），设点P（5，3）关于x轴的对称点为P（5，3），则根据反射定律，点P（5，3）在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为=，即x+y2=0，故选：A7已知等
11、差数列an的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（）A100B120C390D540【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质得：S10，S20S10，S30S20成等差数列，由此能求出前20项和【解答】解：等差数列an的前10项和为30，它的前30项和为210，由等差数列的性质得：S10，S20S10，S30S20成等差数列，2（S2030）=30+，解得前20项和S20=100故选：A8某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这船与灯塔的距离是（）A15海里B30海里C15海里D15海里【考点】解三角形的实
12、际应用【分析】设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意可求得BAC和BAC，进而利用正弦定理求得AC【解答】解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，如图DBC=60，ABD=30，BC=45ABC=30BAC=120由正弦定理可知=AC=15（海里）故船与灯塔的距离是15故选C9已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角为（）A90B45C60D30【考点】异面直线及其所成的角【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GFAB，GECD，则GFE即为EF与CD所成的角
13、，结合AB=2，CD=4，EFAB，在GEF中，利用三角函数即可得到答案【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中线GFAB，且GF=AB=1，GECD，且GE=CD=2，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EFAB，GFAB，EFGF则GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，GFE=90在直角GEF中，sinGEF=GEF=30故选D10周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是（）A25B50C100D200【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据题意，设出矩形的长、宽，求出圆柱的侧面积
14、，再利用基本不等式，即可求得结论【解答】解：设矩形的长、宽分别是x，y，则x+y=10，所以圆柱的侧面积S侧=2xy2（）2=225=50当且仅当x=y=5时，取“=”号当矩形的长、宽都是5时，旋转所形成的圆柱侧面积最大值是50故选：B，11设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线
15、3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A12定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD【考点】数列的求和【分析】由=，可得a1+a2+an=3n2+n，利用递推关系可得an，再利“裂项求和”方法即可得出【解答】解：=，a1+a2+an=3n2+n，a1=4；n2时，a1+a2+an1=3（n1）2+（n1），an=6n2（n=1时也成立）an=6n2bn=n，=则+=+=1=故选：C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13设某
16、几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于243=4故答案为：414在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），点B为点（1，3，1）在平面yOz上的投影，则|AB|=【考点】空间中的点的坐标【分析】根据题意，求出点B的坐标，计算|AB|地址即可【解答】解：点B为点（1，3，1）在平面yOz上的投影，B（0，3，1），又点A（1，0，2），|AB|=故答案为：15在ABC中，若A=120，AB=5，BC=
17、7，则ABC的面积S=【考点】正弦定理【分析】用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可【解答】解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|22|AB|AC|cosA即49=25+|AC|225|AC|（），即AC|2+5|AC|24=0解得|AC|=3故ABC的面积S=53sin120=故应填16在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2+y28x+12=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是0，【考点】直线与圆相交的性质【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，由题意可得以C为圆心，2为半径的圆与
18、直线y=kx2有公共点，即圆心到直线y=kx2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集，即可得到k的范围【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x4）2+y2=4，圆心C（4，0），半径r=2，直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=4与y=kx2有公共点，圆心（4，0）到直线y=kx2的距离d=2，求得0k，故答案为：0，三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b
19、4=a15+1（I）求数列an，bn通项公式；（II）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a2=2，a5+a9=14，a1+d=2，2a1+12d=14，解得a1=d=1an=1+（n1）=nb1=a2=2，b4=a15+1=16=2q3，q=2bn=2n（2）cn=anbn=n2n数列cn的前n项和Tn=2+222+323+n2n，2Tn=22+223+（n1）2n+n2n+1，Tn=2+22+2
20、nn2n+1=n2n+1=（1n）2n+12Tn=（n1）2n+1+218如图所示，在RtABC中，已知A（2，0），直角顶点B（0，2），点C在x轴上（）求RtABC外接圆的方程；（）求过点（4，0）且与RtABC外接圆相切的直线的方程【考点】圆的切线方程【分析】（）设点C（a，0），由BABC，KBAKBC=1，求得a的值，可得所求的圆的圆心、半径，可得要求圆的方程（）设要求直线的方程为y=k（x+4），根据圆心到直线的距离等于半径，即d=3，求得k的值，可得要求的直线的方程【解答】解：（）设点C（a，0），由BABC，可得 KBAKBC=1，a=4，故所求的圆的圆心为AC的中点（1，0）
21、、半径为AC=3，故要求RtABC外接圆的方程为（x1）2+y2=9（）由题意可得，要求的直线的斜率一定存在，设要求直线的方程为y=k（x+4），即 kxy+4k=0，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故有 d=3，求得k=，故要求的直线的方程为 3x4y+12=0，或 3x+4y+12=019如图，三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CDDA1（I）求证：BC1平面DCA1（II）求证：平面ABC平面ABB1A1（III）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【
22、分析】（I）连接AC1与A1C交于点K，连接DK根据三角形中位线定理，易得到DKBC1，再由线面平行的判定定理得到BC1平面DCA1；（II）由已知条件推导出CDAB，CDDA1，由此能证明平面ABC平面ABB1A1（III）由AC=BC，D为AB的中点，取A1B1的中点E，又D为AB的中点，得到DCC1E是平行四边形，则EBC1即为BC1与平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案【解答】解：（I）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK在ABC1中，D、K为中点，DKBC1，又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，BC1平面DCA1（II）证明：AC=BC，D为AB中点
23、，CDAB，又CDDA1，CD面AA1B1B，又CD平面ABC，平面A1B1B平面ABC（III）取A1B1的中点E，又D为AB的中点，DE、BB1、CC1平行且相等，DCC1E是平行四边形，C1E、CD平行且相等又CD平面ABB1A1，C1E平面ABB1A1，EBC1即所求角，由前面证明知CD平面ABB1A1，CDBB1，又ABBB1，ABCD=D，BB1平面ABC，此三棱柱为直棱柱设AC=BC=BB1=2，EBC1=3020在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sinAsinC）=sinB（ab）（I）求角C的大小；（II）若c=2，求a+b的取值范围【考点
24、】正弦定理；余弦定理【分析】（I）利用正弦正理化简已知等式可得：a2+b2c2=ab，由余弦定理可得求得cosA=，结合A的范围，即可求得A的值（II）由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围【解答】（本题满分为12分）解：（I）在ABC中，（a+c）（sinAsinC）=sinB（ab），由正弦定理可得：（a+c）（ac）=b（ab），即a2+b2c2=ab，cosC=，由C为三角形内角，C=（II） 由（I）可知2R=，a+b=（sinA+sinB）= sinA+si
25、n（A+）=（sinA+cosA）=4sin（A+）0，A+，sin（A+）1，24sin（A+）4a+b的取值范围为（2，421如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SEAD（I）证明：BESC（II）（文）若SE=1，求点E到平面SBC的距离（理）若SE=1，求二面角BSCD平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算【分析】（）推导出SEBE，BECE从而BE平面SEC，由此能证明BESC（）（文）过点E作EFBC于点F，连接SF推导出BCSE，从而平面SEF平面SBC过点E作EG
26、SF于点G，则线段EG的长即为三棱锥ESBC的高，由此能求出点E到平面SBC的距离（理）以E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BSCD平面角的余弦【解答】（本小题满分12分）证明：（）平面SAD平面ABCD且平面SAD平面ABCD=AD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCDBE平面ABCD，SEBEABAD，ABCD，CD=3AB=3，AE=ED=，AEB=30，CED=60BEC=90，即BECE又SECE=E，BE平面SEC，SC平面SEC，BESC解：（）（文）如图，过点E作EFBC于点F，连接SF由（1）知SE平面ABCD，而BC
27、平面ABCD，BCSE，又SEEF=E，BC平面SEF，BC平面SBC，平面SEF平面SBC过点E作EGSF于点G，则EG平面SBC，即线段EG的长即为三棱锥ESBC的高由（1）易知，BE=2，CE=2，则BC=4，EF=在RtSEF中，SE=1，SF=2，则EG=，点E到平面SBC的距离为（理）以E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则S（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（，0），=（2，0，1_， =（0，2，1），=（，0），设平面SBC的法向量=（x，y，z），则，令z=6，则x=3，y=， =（3，6），设平面SDC的法向量=（
28、a，b，c），令y=1，则x=，z=2， =（，1，2），设二面角BSCD平面角为，cos=，二面角BSCD平面角的余弦值为22设数列an的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式an；（）求数列|ann2|的前n项和【考点】数列递推式【分析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列an是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；（）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列|ann2|的前n项和【解答】解：（）S2=4，an+1=2Sn+1，nN*a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn1+1，两式相减得an+1an=2（SnSn1）=2an，即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，=3，则数列an是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n1（）ann2=3n1n2，设bn=|ann2|=|3n1n2|，则b1=|3012|=2，b2=|322|=1，当n3时，3n1n20，则bn=|ann2|=3n1n2，此时数列|ann2|的前n项和Tn=3+=，则Tn=2016年8月25日