1、事件的关系和运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.如果事件A,B互斥,那么()A.AB是必然事件B.是必然事件C.与一定互斥D.以上说法都不正确【解析】选B.A,B互斥,不一定是对立事件,故A不正确;当A,B不是对立事件时,与不互斥,故C不正确;A、B互斥,一定是必然事件,故B正确.2.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对【解析】选C.“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立.3.抽查10件产品,设“至少抽到2件
2、次品”为事件A,则A的对立事件是()A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个.4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件【解析】选D.选项A,A+B与C是互斥事件,但不对立,因为P(A+B
3、)+P(C)=0.71,故A错误;选项B,B+C与D是互斥事件,但不对立,因为P(B+C)+P(D)=0.81,故B错误;选项C,A+C与B+D是互斥事件,也是对立事件,因为P(A+C)+P(B+D)=1,故C错误;选项D,A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件,因为P(A)+P(B+C+D)=1,故D正确.5.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球【解析】选D.根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“三个
4、球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.6.向上抛掷两枚质地均匀的硬币,设A=两枚硬币都正面向上,B=两枚硬币都正面向下,C=恰有一枚硬币正面向上,D=至少有一枚硬币正面向上,下列关系不正确的是()A.ADB.BD=C.AC=DD.AB=BD【解析】选D.“恰有一枚硬币正面向上”指第一枚硬币正面向上第二枚硬币正面向下或第一枚硬币正面向下第二枚硬币正面向上,“至少有一枚硬币正面向上”包含两种情况:一种是恰有一枚硬币正面向上,一种是两枚硬币都正面向上,所以ABBD.二、填空题(每小题5分,
5、共10分)7.在掷骰子的试验中,可以得到以下事件:A=出现1点;B=出现2点;C=出现3点;D=出现4点;E=出现5点;F=出现6点;G=出现的点数不大于1;H=出现的点数小于5;I=出现奇数点; J=出现偶数点.请根据这些事件,判断下列事件的关系:(1)B_H;(2)D_J;(3)E_I;(4)A_G.【解析】当事件B发生时,H必然发生,故BH;同理DJ,EI,而事件A与G相等,即A=G.答案:(1)(2)(3)(4)=8.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=3个球中有1个红球,2个白球,事件B=3个球中有2个红球,1个白球,事件C=3个球中至少有1个红球,事件E=3个红
6、球,那么事件C与A,B,E的运算关系是_.【解析】由题意可知C=ABE.答案:C=ABE三、解答题(每小题10分,共20分)9.做试验“从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个数字,构成有序数对(x,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字”.(1)写出这个试验的样本空间;(2)用集合A表示“第1次取出的数字是2”这一事件.写出事件A的对立事件B.【解析】(1)这个试验的样本空间=(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0), (2,1).(2)A=(2,0),(2,1),则B=(0,1),(0,2),(1,0),(1,2).10.某县城有甲、乙两种报纸供居民
7、订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是否是互斥事件;如果是,判断它们是否是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件;又BE是必然事件,故B与E也是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报纸”,即有可能“不订甲报纸
8、”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”.事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由上述分析,事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)从1,2,3,9中任取两数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一
9、个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述各对事件中,不是对立事件的是()A.B.C.D.【解析】选ABD.两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”,共三种情况,利用对立事件的定义可知不是对立事件.2.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1A2A3表示()A.全部击中B.至少击中1发C.至少击中2发D.以上均不正确【解析】选B.A1A2A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示
10、事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是()A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立【解析】选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.4.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为
11、“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与BB.B与CC.A与DD.C与D【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.二、填空题(每小题5分,共10分)5.给出四对事件:某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”;甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”;甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙未射中目标”.其中是互斥
12、事件的有_对.【解析】某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生,故是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生,故不是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生,故是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙未射中目标”,前者包含后者,故不是互斥事件.综上可知,是互斥事件,故共有2对事件是互斥事件.答案:26.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品
13、.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:AB=C;DB是必然事件;AB=C;AD=C.其中正确结论的序号是_.【解析】事件AB:至少有一件次品,即事件C,所以正确;事件AB=,不正确;事件DB:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以正确;事件AD:恰有一件次品,即事件A,所以不正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y,用(x,y)表示一个样本点.(1)请写出所有的样本点;(2)满足条件“为整数”这一事件包含哪
14、几个样本点?【解析】(1)先后抛掷两次正四面体的样本点:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个样本点.(2)用A表示满足条件“为整数”的事件,则A包含的样本点有:(1,1),(2,1), (2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8个样本点.8.玻璃盒子中装有大小相同的球5个,其中2红(标号为1和2)、2黑(标号为3和4)、1白(标号为5),从盒子中不放回地依次随机取出2球,设事件A=“第一次取出红球
15、”,B=“第二次取出黑球”,C=“两次都取出红球”,D=“两次都取出黑球”,E=“取出的2个球的颜色相同”,F=“取出的2个球的颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件A与C,C与D,E与F之间各有什么关系?(3)事件C与事件D的并事件与事件E有什么关系?【解析】(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到球的标号,x2是第二次摸到球的标号,则试验的样本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4
16、,5),(5,1),(5,2),(5,3)(5,4).事件A=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4)(2,5).事件B=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(4,3),(5,3)(5,4).事件C=(1,2),(2,1).事件D=(3,4),(4,3).事件E=(1,2),(2,1),(3,4),(4,3).事件F=(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5), (4,1),(4,2),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).(2)因为CA,所以事件A包含事件C.因为CD=,所以事件C与事件D互斥.因为EF=,EF=,所以事件E与事件F互为对立事件.(3)因为CD=E.所以事件E是事件C与事件D的并事件.
