1、直线与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直【解析】选D.两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直.2.直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选A.若lm,l,m,则l,这与已知l矛盾.所以直线l与m不可能平行.3.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不
2、存在【解析】选B.当l1l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,所以BD平面AOC,BDAC,又BD,AC异面,所以选C.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A.PADB.PDAC.PDBD.PDC【解析】选B.因为PA平面ABCD,所以AD是PD在平面ABCD上的射影,故PDA是P
3、D与平面ABCD所成的角.6.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,下列命题正确的有()A.若l,则l与相交B.若m,n,lm,ln,则lC.若lm,mn,l,则nD.若,l则l【解析】选ACD.A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l,故B错误;对C,由lm,mnln,由l,得n,故C正确;对D,l则l正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长和两条对角线AC,BD都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为_.【解析】连接EF,根据题意,BCAF,BCDF.因为AFDF=F
4、,所以BC平面ADF.所以BEF是直线BE和平面ADF所成的角,设BC=2,则BF=1,BE=,所以sinBEF=.答案:8.(三空题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于_;AB1与平面ADD1A1所成的角等于_;AB1与平面DCC1D1所成的角等于_.【解析】B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45;B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0.答案:45450三、解答题(每小题10分,共20分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C平面BC1D.【证明】如图,连接AC,
5、所以ACBD,又因为BDA1A,ACAA1=A,AC,A1A平面A1AC,所以BD平面A1AC,因为A1C平面A1AC,所以BDA1C.同理可证BC1A1C.又因为BDBC1=B,BD,BC1平面BC1D,所以A1C平面BC1D.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC=45,AD=AC=1,O为AC的中点,PO平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB平面ACM;(2)证明:AD平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【解析】(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点
6、,所以PBMO.因为PB平面ACM,MO平面ACM,所以PB平面ACM.(2)因为ADC=45,且AD=AC=1,所以DAC=90,即ADAC.又PO平面ABCD,AD平面ABCD,所以POAD,而ACPO=O,所以AD平面PAC.(3)取DO的中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MNPO,且MN=PO=1.由PO平面ABCD,得MN平面ABCD,所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在RtDAO中,AD=1,AO=,所以DO=,从而AN=DO=.在RtANM中,tanMAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选
7、题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直,则l;如果直线l与平面内的任意一条直线垂直,则l;如果直线l不垂直于,则内没有与l垂直的直线;如果直线l不垂直于,则内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.由直线和平面垂直的判定定理知正确;由直线与平面垂直的定义知,正确;当l与不垂直时,l可能与内的无数条直线垂直,故不对;正确.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选D.画出图形,如图所示,BB1与平面ACD1所成的角等于D
8、D1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D-ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体的棱长为a,则cosDD1H=.3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线()A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.4.(多选题)下列说法中错误的是()A.若直线m平面,
9、直线lm,则lB.若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面必相交C.过平面外一点有且只有一条直线和平面垂直D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直【解析】选AB.A错误.若直线m平面,直线lm,则l与平行、相交或l在内都有可能.B错误.若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能,C.D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,则点S在平面ABC上的射影一定在_.BC边的中线上BC边的高线上BC边的中垂线上BAC的平分线上【解析】设点S在平面ABC上的射影为O,连接OA,OB,OC,因为SA=SB=SC,所以
10、OA=OB=OC,所以O是ABC的外心,所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的中垂线上.答案:6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为_.【解析】因为正方形ABCD的面积为16,所以AB=BC=4,因为AB平面BB1C1C,故AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,即AC1B=30,所以BC1=4,所以CC1=4.所以长方体的体积V=164=64.答案:647.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有AC1B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所
11、有可能的情形)【解析】要找底面四边形ABCD所满足的条件,使AC1B1D1,可从结论AC1B1D1入手.因为AC1B1D1,BDB1D1,所以AC1BD.又因为CC1BD,而CC1AC1=C1,CC1平面ACC1,AC1平面ACC1,所以BD平面ACC1,所以BDAC.此题答案不唯一.答案:BDAC(答案不唯一)8.如图所示,E是正方形ABCD所在平面外一点,E在平面ABCD上的正投影F恰在AC上,FGBC,AB=AE=2,EAB=60,则以下结论中正确的有_(填序号).(1)CD平面GEF.(2)AG=1.(3)以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是8.(4)EAD=60.【解析】连接EG,
12、由EF平面ABCD得EFCD,又FGBC,所以FGAB,所以CDFG.即得CD平面GEF,故(1)正确;因为EAB=60,所以AG=AE=1,故(2)正确;由题意得AF=,所以EF=,所以以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是2=4,故(3)不正确;根据对称性可得EAD=EAB=60,故(4)正确.答案:(1)(2)(4)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,PC平面ABCD,PC=2,E,F分别是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成角的正弦值.【解析】过A作AHBC于H,连接PH,因为PC平面ABCD,AH平面ABCD,所以PCAH,又P
13、CBC=C,所以AH平面PBC.所以APH为PA与平面PBC所成的角,因为在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,所以ABC为正三角形,又AHBC,所以H为BC中点, AH=,因为PC=AC=2,所以PA=2,所以sinAPH=.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=,D是A1B1的中点.(1)求证C1D平面AA1B1B.(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1平面C1DF?并证明你的结论.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又D是A1B1的中点,所以C1DA1B1.因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又A1B1AA1=A1,所以C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1平面C1DF,点F为所求.因为C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.又AB1DF,DFC1D=D,所以AB1平面C1DF.因为AA1=A1B1=,所以四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点,DFAB1,所以F为BB1的中点,所以当点F为BB1的中点时,AB1平面C1DF.