1、上海实验学校高一期末数学试卷2022.06一填空题（本大题病分40分，本大题共有10题）1. 已知等差数列中，则数列的通项公式是_.【答案】#【解析】【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，所以.故答案为：.2. 已知四边形是边长为1的正方形，则_【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果.【详解】,故答案为：.3. 设复数，则的共轭复数的虚部是_【答案】【解析】【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解.【详解】因,所以，因此的共轭复数的虚部是.故答案为：.4. 已知向
2、量，则在方向上的投影为_.【答案】#22【解析】【分析】求出的值及，由计算即可.【详解】解：因为，所以，由可得：，即在方向上的数量投影为：.故答案为：.【点睛】理解投影的概念是关键.5 _【答案】【解析】【分析】根据已知条件，利用复数模的公式直接计算即可.【详解】由，故答案为：.6. 复数的辐角主值是_.【答案】#【解析】【分析】复数的代数形式化为复数的三角形式即可.【详解】复数化为复数的三角形式，可得：，所以复数辐角主值是.故答案为：7. 已知向量、，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将展开结合已知条件以及余弦函数的性质即可求解.【详解】设向量、夹角为，因为，所以，所以，即，所以，故
3、答案为：.8. 在数列中，则_【答案】【解析】【分析】先由，得到，求出数列的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为，所以，则，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.9. 设，复平面上对应的点分别为，若，则四边形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、和，即可求解.详解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案为：.10. 定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存
4、在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为_.【答案】81【解析】【分析】计算得到，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，找到3为最小的大于1的正奇数，且，从而求出m的值.【详解】，由题意可知：存在4组不同的正整数，使得奇数，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，因为3为最小的大于1的正奇数，且，故m的最小值为.故答案为：81二选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11. 在中，是为钝角三角形的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据数量积的
5、定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得，所以为钝角，是钝角三角形，所以由可以得出为钝角三角形，若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，所以在中， 是为钝角三角形的充分不必要条件，故选：A.12. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）A. 2B. C. 或2D. 【答案】A【解析】【分析】由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值【详解】解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，所以，由，得或，由，得且，所以，故选：A13. 已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ ）A. 与共轭B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依
6、次判断即可.【详解】由复数范围内的求根公式可得，当时，；当时，则B错误；当时，方程有两个不相等的实根，与不共轭，A错误；当时，易得；当时，C正确；当时，故，D错误.故选：C.14. 数列满足（，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（ ）若数列满足，则（，n为正整数）；若（其中pqmn为正整数），则；一定存在常数d，使得（，n为正整数）都成立；一定存在常数q，使得（，n为正整数）都成立.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】对于：根据数列为递增数列分析判断；对于：取，分析判断；对于：根据进行放缩，取，利用累加法运算处理；对于：取代入检验判断【详解】，则数列为递增数
7、列若，即，可得，则，为真命题；取，则数列为递减数列，数列为递增数列符合题意若令，则，为假命题；对取常数d满足则，为真命题；取，显然满足但对，为假命题；故选：B三解答题（体大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15. ，依照下列条件求实数k的值.（1）与相互平行；（2）与相互垂直.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解；（2）根据向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，因为与相互平行，所以，解得；【小问2详解】解：因为，所以，因为与相互垂直，所以，解得.16. 已知是复数，为实数（为虚数单位），且（1）求复数；（2）
8、若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出复数的值；（2）化简复数，利用复数的模长公式可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）设，则，所以，可得，为实数，所以，解得，因此，；（2），所以，可得，解得，因此，实数的取值范围是.17. 某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型
9、的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.【答案】（1）， （2）206万张【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式可得，结合题意可得，根据等比数列通项公式可得，结合题意利用前项和公式判断可得；（2）根据（1）分别求数列、的前17项和，再相加【小问1详解】设当时，数列为等差数列，则根据题意令，则，则
10、设当时，数列为等比数列，则其前项和为递增数列，且，则【小问2详解】根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年对于数列的前项和对于数列的前项和到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为（万张）18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立（1）求数列的通项公式；（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）由4Sn（an+1）2，n1时，4a1，解得a1，n2时，4an4（SnSn1），化
11、为：（an+an1）（anan12）0，根据数列an的各项均为正数，可得anan12，利用等差数列的通项公式可得an（2）数列bn满足b12，b24，且等式bn2bn1bn+1对任意n2成立利用等比数列的通项公式可得bn进而得出cn，T2n（3）Tncn，即n2+2n+12cn，对n分类讨论即可得出【详解】（1）由，即，所以，两式相减得， 故， 因为，所以 又由得所以，数列是首项为，公差为的等差数列所以，数列的通项公式为 （2）由题意，数列是首项为，公比为等比数列，故所以， 数列前项和，数列的前项和 所以， （3）当为偶数时，设（），由（2）知，由，得， 即， 设，则，所以，当时，单调递增，当时，单调递减 因为，当时，所以，所以， 当为奇数时，设（），则， 由，得，即， 设，则，故单调递增，故 综上，的取值范围是【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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