1、平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120时,合力大小为 ()A.40 NB.10 NC.20 ND.40 N【解析】选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20 N,所以|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10 N.2.若点O是A
2、BC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为|-|=|=|-|,|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四边形ABDC是矩形,且BAC=90.所以ABC是直角三角形.【补偿训练】若四边形ABCD满足+=0,(-)=0,则该四边形一定是 ()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,四边形ABCD是平行四边形,由(- )=0,得=0,所以,即此四边形对角线互相垂直,故为菱形.3.已知点O为ABC外接圆的圆心,且+=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.9
3、0D.120【解析】选A.由+=0,得=-,两边平方得=+-2,由于|=|=|,则|2=2|cosBOC,所以cosBOC=,则BOC=60,所以A=BOC=30.【补偿训练】已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以|=|=|=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)(-)=-(3+4-3-4)=-.4.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1与F2的夹角为60,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为
4、()A.6 NB.2 NC.2 ND.2 N【解析】选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡,得|F3|2=|-F1-F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=22+42+224=28,所以|F3|=2 N.5.在四边形ABCD中,B=120,C=150,且AB=3,BC=1,CD=2,则AD的长所在区间为()A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【解析】选C.=+,其中与的夹角为60,与的夹角为30,与的夹角为90,则|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2 +2=9+1+4+231+212+0=17+2(16,25),所以|(4,5).6.(多选题)小
5、船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变【解析】选AC.设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为,0.则|F|cos=|f|,所以|F|=.因为增大,cos减小,所以|F|增大.因为|F|sin增大,且船的重力为|F|sin 与浮力之和,所以船的浮力减小.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB的交点P的坐标为_.【解析】设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=-=(4
6、t-3,4t),=(2,1)-(3,0)=(-1,1).由,共线,得(4t-3)1-4t(-1)=0,解得t=.所以=(4t,4t)=,所以点P的坐标为.答案:8.在倾斜角为37(sin37=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部,则斜面对物体m的支持力所做的功为_J,重力所做的功为_J(g=9.8m/s2).【解析】物体m的位移大小为|s|=(m),则支持力对物体m所做的功为W1=Fs=|F|s|cos90=0(J);重力对物体m所做的功为W2=Gs=|G|s|cos53=59.80.6=98(J).答案:098三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,=(
7、6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x与y间的关系式;(2)若又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为=+=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).由,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因为=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),由,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-x,代入上式得x2+4x-12=0.解得x1
8、=-6,x2=2.相应求得y1=3,y2=-1,即或如图,S四边形ABCD=SBCD+SABD=|+|=|,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以|=8或4,|=4或8,所以=16.10.某人在一条河中游泳,河水的流速为3 km/h,此人在静水中游泳的速度为4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸,他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?【解析】(1)设水流速度为,此人游泳的速度为,以,为邻边作
9、矩形OACB,则此人实际的速度为=+.由|=3,|=4,及勾股定理,得|=5,且在RtOAC中,AOC538.故此人实际是沿与水流方向的夹角为538的方向前进的,速度大小为5 km/h.(2)设水流速度为,实际游泳的速度为,实际前进的速度为,则+=,所以四边形OABC为平行四边形.据题意,|=3,|=4,则在RtAOB中,|=.cosBAO=,所以BAO4125.故此人应沿与河岸的夹角为4125且逆着水流的方向前进,实际前进的速度大小为 km/h.【补偿训练】一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60,并且A、C两地相距2 000
10、 km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】如图所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60,|=1 000 km;的方向是南偏西60,|=2 000 km,所以BAC=60.过点B作东西基线的垂线,交AC于点D,则ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km,CBD=BCD=BDA=30.所以ABC=90.BC=ACsin60=2 000=1 000(km),|=1 000(km).所以,飞机从B地到C地的位移大小是1 000km,方向是南偏西30.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在
11、ABC中,设=a,=b,=c,若ab=bc=ca,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等边三角形.2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.10【解析】选D.将ABC各边及PA,PB,
12、PC均用向量表示,则=-6=42-6=10.3.点O是ABC所在平面内的一点,满足=,则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由=,得-=0,所以(-)=0,即=0.所以.同理可证,.所以OBCA,OACB,OCAB,即点O是ABC的三条高线的交点.4.(多选题)在直角ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是()A.|2=B.|2=C.|2=D.|2=【解析】选ABD.=(+)=+=|2,A正确;同理|2=成立,B正确;又=|2,D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知力F与水平方向的夹角
13、为30(斜向上),大小为50N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m.则力F所做的功是_,摩擦力f所做的功是_.(g=10 m/s2)【解析】设木块的位移为s,则Fs=|F|s|cos30=5020=500(J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30=50=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|(G-F1)|=(80-25)0.02=1.1(N).因此fs=|f|s|cos 180=1.120(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别是500J和-22J.答案:500J-22J6.如图,已知在RtOAB中,
14、AOB=90,OA=3,OB=2,点M在OB上,且OM=1,点N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,则MPN=_.【解析】设=a,=b,与的夹角为,则=b,=a,又因为=-=b-a,=-=a-b.所以=-5,又|=,|=,所以cos =-.又因为0,所以=,又因为MPN为向量,的夹角,所以MPN=.答案:7.已知O为ABC所在平面内的一点,满足|2+=|2+|2=|2+|2,则O是ABC的_.【解析】设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化简可得cb=ac,即(b-a)c=0,即=0,故,即OCAB.同理可得OBA
15、C,OABC,故O是ABC的垂心.答案:垂心8.如图所示,在ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),则A点坐标为_,G点坐标为_.【解析】设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).所以即所以A(0,4).因为AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),所以即所以G(2,).答案:(0,4)(2,)三、解答题(每小题10分,共30分)9.一条宽为 km的河,水流速度的大小为2 km/
16、h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中最大航速的大小为4 km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?【解析】如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸,根据题意ACAE,在RtADE和ACED中,|=|=2,|=4,AED=90,所以|=2.又AB=,所以用时0.5 h.因为sinEAD=,0EAD90,所以EAD=30.综上所述,船实际航行速度大小为2 km/h,与水流成120角时能最快到达B码头,用时0.5 h.10.经过OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点,若=
17、m,=n,求证:+=3.【证明】如图所示,因为点G是OAB的重心,所以=(+),所以=-=(+)-m=(-m)+,由于P、G、Q三点共线,则存在实数,使=又因为=-=n-m即n-m=(-m)+=+,所以消去,得+=3.11.设a,b,c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证:以a,b,c的模为边,必构成一个三角形;(2)如果向量a,b,c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?【解析】(1)如图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=+=a+b+c=0,所以B与D重合,故向量a,b,c能构成一个三角形.(2)设向量a,b,c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即+=0.因为a=-,b=-,c=-,所以a,b,c有下列四种关系之一即可:a+b-c=0;a+b+c=0;a-b-c=0;a-b+c=0.
