1、单元形成性评价(三)(第八章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A B C D【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8，所以剩下的几何体的体积为1.2如图，l，A，B，C，Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不通过点M D点C和点M【解析】选D.通过A，B，C三点的平面，即通过直线AB与点C的平面，因为MAB，所以M，而C，又M，C，所以和的交线必通过点C和点M.3已知水平放置的ABC
2、，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC的面积是()A. B2 C D【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BCBC2，AO2AO2，由图易得AOBC，所以SABC2.4如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为1和3，则此组合体的外接球的表面积是()A16 B20 C24 D28【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO12R2，而OO12R，故R21(2R)2，所以R，所以S4R220.【加固训练】已知圆锥的高为16 cm,底面积
3、为512 cm2,平行于圆锥底面的截面面积为50 cm2,则截面与底面的距离为()A.5 cmB.10 cmC.11 cmD.25 cm【解析】选C.设截面与底面的距离为h cm,则=,解得h=11.5如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为()A. B C D【解析】选C.过点F作FHDC，交BC于H，过点A作AGEF，交EF于G，连接GH，AH，则AFH为异面直线AF与BE所成的角设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2，AH，所以cos AFH.6用m，n表示两条不同的直线
4、，表示平面，则下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，n，则mn【解析】选D.若mn，n，则m或m，故排除A；若m，n，则mn或m，n异面，故排除B；若mn，n，则不能得出m，例如，mn，n，m，则m与不垂直，故排除C.7在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定【解析】选B.作AEBD，交BD于E，因为平面ABD平面BCD，所以AE面BCD，BC面BCD.所以AEBC，而DA平面ABC，BC平面ABC，所以DABC，又因为AEADA，所以BC面ABD，而AB面
5、ABD，所以BCAB即ABC为直角三角形8如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()A.ACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为【解析】选B.若A成立可得BDAD，产生矛盾，故A不正确；由题设知：BAD为等腰Rt，CD平面ABD，得BA平面ACD，于是B正确；由CA与平面ABD所成的角为CAD45知C不正确；VABCDVCABD，D不正确二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9等腰直角三角形直角边长为1，
6、现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是()A B(1)C2 D(2)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l，这时表面积为21l12(1)；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S221，综上所述该几何体的表面积为或(1).故选项CD符合题意10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1P
7、QB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1MD1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1MD1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确【加固训练】 如图,在三棱锥P-ABC中,能证明APBC的条件是()A.BC平面APCB.BCPC,APPCC.APPB,APPCD.APPC,平面APC平面BPC【解析】选ACD.由BC平面APC,PA平面
8、APC,可得BCPA,故A正确;由BCPC,APPC,可得PC为异面直线BC,AP的公垂线,若APBC,由CBPC=C,可得PA平面PBC,则PAPB,不一定成立,故B错误;由APPB,APPC,又PBPC=P,可得PA平面PBC,可得BCPA,故C正确;由APPC,平面APC平面BPC,可得PA平面PBC,可得BCPA,故D正确.11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则()A.直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在
9、平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1GD1F，A1G平面AEFD1，所以A1G平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立故D选项错误12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB异面直线AD与PB所成的角为90
10、C二面角PBCA的大小为45DBD平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PMAD.又底面ABCD为菱形，DAB60，所以ABD是等边三角形所以ADBM.又PMBMM.所以AD平面PMB，因此A正确B由A可得：AD平面PMB，所以ADPB，所以异面直线AD与PB所成的角为90，正确C因为平面PBC平面ABCDBC，BCAD，所以BC平面PBM，所以BCPB，BCBM.所以PBM是二面角PBCA的平面角，设AB1，则BMPM，在RtPBM中，tan PBM1，所以PBM45，因此正确D因为BD与PA不
11、垂直，所以BD与平面PAC不垂直，因此D错误三、填空题(每小题5分，共20分)13在三棱柱ABC A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC A1B1C1与四棱锥PABB1A1的体积分别为V1与V2，则_【解析】设ABa，在ABC中AB边所对的高为b，三棱柱ABC A1B1C1的高为h，则V1abh，V2ahb，所以.答案：14如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_cm.【
12、解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又r1，R3，故Hh29.即这个简单几何体的总高度为29 cm.答案：29【加固训练】一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面上升9 cm,则此球的半径为_ cm.【解析】设球的半径为R,由题意知V球=9=R3,所以R=12 cm.答案:1215如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_【解析】长方体ABCDA1B1C1D1中，BAB1B
13、1A1C130，因为ABA1B1，A1B1与A1C1所成的角，就是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30，因为AA1BB1，BB1与B1C所成的角就是AA1与B1C所成的角，连接AC，则ACA1C1，所以BAC30，因为AA1a，BAB130，所以ABa，所以BCa，所以BB1C45，所以AA1与B1C所成的角为45.答案：3045【加固训练】 如图所示,等边三角形ABC的边长为4,D为BC的中点,沿AD把ADC折叠到ADC处,使二面角B-AD-C为60,则折叠后二面角A-BC-D的正切值为_.【解析】易知BDC即为二面角B-AD-C的平面角,则BDC=60,所以BDC为等边
14、三角形.取BC的中点M,连接DM,AM,易知DMBC,AMBC,所以二面角A-BC-D的平面角为AMD.在等边三角形ABC中,易知AD=2,在等边三角形BDC中,易知DM=,所以tanAMD=2.答案:216在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN平面A1BP，则_【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1MN.根据正方体的性质可得MN面ABCD，即可得MNPB.当P为AD中点时，CMPB，又CMMNM.所以PB面NMC，即可得平面CMN平面A1BP.则2.答案：2四、解答题(共70分)17(10分)某高速公路收费站入口处的安
15、全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥PEFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积【解析】(1)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP60 cm，OGEG20cm，可得PG20 cm.于是四棱锥PEFGH的侧面积S14401 600 cm2，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2440203 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积
16、SS1S21 600(2) cm2.18(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积【解析】(1)在PAD中PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.(2)因为PAPD，AO1，所以PO1所以VPOS四边形ABCD1.19(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD
17、90，AD3BC，O是AD上一点(1)若CD平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB平面PCD.【解析】(1)因为CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PBOBO，所以BOCD.又BCAD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BCDO，而AD3BC，所以AD3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点(2)因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB底面ABCD，且ABAD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又PAPD，ABPAA，AB，PA平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.【加固训练】 如
18、图所示,在ABC中,CACB=AB,四边形ABED是正方形,平面ABED底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC; (2)求证：平面DAC平面EBC；【证明】(1)连接AE，因为四边形ABED为正方形，所以AEBDF，且F是AE的中点，因为G是EC的中点，所以GFAC.又AC平面ABC，GF平面ABC，所以GF平面ABC.(2)因为四边形ABED为正方形，所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，BE平面ABED，所以BE平面ABC，所以BEAC.因为CA2CB2AB2，所以ACBC.又因为BCBEB，BC，BE平面EBC，所以AC平面
19、EBC.因为AC平面DAC，所以平面DAC平面EBC.20(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1C1C，平面A1C1CA平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点(1)求证：BC1平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP平面BCC1B1.【证明】(1)因为平面A1C1CA平面BCC1B1，平面A1C1CA平面BCC1B1CC1，BC1C1C，所以BC1平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点所以PFAA1，PEAC，因为PFPEP，AA1ACA，所以平面EFP平面A1C1CA，因为平面A1C1CA平面BC
20、C1B1，所以平面EFP平面BCC1B1.21(12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值【解析】(1)在图中因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，从而BE平面A1OC.因为BCADED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且
21、平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.22(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由【解析】(1)连接PF，因为PAD是等边三角形，所以PFAD.因为
22、底面ABCD是菱形，BAD，所以BFAD.又PFBFF，所以AD平面BFP，又PB平面BFP，所以ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，因为PDBF，ADPDD，所以BF平面PAD.又BF平面ABCD，所以平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，所以PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，所以GH平面ABCD.又GH平面DEG，所以平面DEG平面ABCD.因为ADBC，所以DFHECH，所以，所以，所以GHPF，所以VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsin GH.【加固训练】 如图,在三棱
23、柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为直角三角形,ACBC,侧棱CC1底面ABC,AC=CC1(1)证明:平面A1BC平面ABC1;(2)若点E为侧棱AA1的中点,点F为棱BC上的一点,且BC=3BF,证明:A1B平面C1EF.【解析】(1)因为侧棱CC1底面ABC,且AC=CC1,所以四边形AA1C1C为正方形，可知AC1A1C，又BCAC，由已知侧棱CC1底面ABC可得CC1BC，ACCC1C，可得BC平面AA1C1C，AC1平面AA1C1C，可知AC1BC，BCA1CC，又A1C，BC平面A1BC，所以AC1平面A1BC，AC1平面ABC1，所以平面A1BC平面ABC1.(2)如图，设A1C与C1E相交于点M，连接MF，在正方形AA1C1C中，由已知BC3BF，可得，在A1BC中，则有MFA1B，MF平面C1EF，又A1B平面C1EF，所以A1B平面C1EF.