1、单元综合测试一(第九章)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知在ABC中，a1，b，B45，则角A等于(D)A150 B90C60 D30解析：由正弦定理得sinA.ab，A为锐角A30.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，b，B45，则A(A)A30 B60C150 D30或150解析：由正弦定理得sinA.ab，A2 Bx2C2x2 D2xbCDasin45.2x2.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，
2、有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9在ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是(ABD)A若AB，则sinAsinBB若sinAsinB，则AB，则DAcos2B解析：A.若AB，则ab,2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，所以该选项是正确的；B若sinAsinB，ab，则AB，设A，B，0，所以该选项错误；DAB，则sinAsinB，sin2Asin2B，1sin2A1sin2B，cos2Acos2B，故该选项正确故选ABD.10在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(BC)Ab10，A45，C70Bb45，c48，B60Ca1
3、4，b16，A45Da7，b5，A80解析：选项A：因为A45，C70，所以B65，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项B：由正弦定理可知，即sinBsinC1，所以角C有两解；选项C：由正弦定理可知，即sinAsinBsinB，所以角B仅有一解，综上所述，故选BC.11已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是(AC)A若，则ABC一定是等边三角形B若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形C若bcosCccosBb，则ABC一定是等腰三角形D若a2b2c20，则ABC一定是锐角三角形解析：由，利用正弦定理可得，即tanAtanBtanC，A
4、BC，ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B,2A2B或2A2B，ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinB，即sin(BC)sinB，sinAsinB，则AB，ABC等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cosC0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确，故选AC.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)(ac)(bc)91011，则下列结论正确的是(ACD)AsinAsinBsinC456BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC外接
5、圆半径为解析：因为(ab)(ac)(bc)91011.所以可设：(其中x0)，解得：a4x，b5x，c6x.所以sinAsinBsinCabc456，所以A正确；由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，又cosC0, 所以C角为锐角，所以B错误；由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，又cosA.所以cos2A2cos2A1，所以cos2AcosC，由三角形中C角最大且C角为锐角可得：2A(0，)，C(0，)所以2AC，所以C正确；由正弦定理得：2R，又sinC.所以2R，解得：R，所以D正确；故选ACD.第卷(非选择题，共90分)13ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2b2与c2的大小
6、关系为a2b2c2.解析：cosC，C为钝角，cosC0，a2b2c20，故a2b2c2.14在ABC中，tanB1，tanC2，b100，则c40.解析：由tanB1，tanC2，得sinB，sinC，由得c40.15在锐角三角形ABC中，BC1，B2A，则的值等于2，AC的取值范围为(，)解析：设AB2.由正弦定理得，又090，所以sin0，所以12.由锐角三角形ABC得0290045.又01803903060，故3045cos，所以AC2cos(，)16一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔
7、的距离为30km.解析：如图所示，由已知条件，得AC60 km，BAC30，ACB105，故ABC45.由正弦定理得：BC30 km.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长解：(1)cosCcos180(AB)cos(AB).又因为C(0，180)，所以C120.(2)因为a，b是方程x22x20的两根，所以所以AB2a2b22abcos120(ab)2ab10，所以AB.18(12分)在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，
8、b，c，且bsinAacosB.(1)求B；(2)若b3，sinC2sinA，求a，c的值解：(1)由bsinAacosB及正弦定理得sinBcosB，即tanB，因为B是三角形的内角，所以B.(2)由sinC2sinA及正弦定理得c2a.由余弦定理及b3，得9a2c22accos，即9a24a22a2，所以a，c2.19(12分)如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长解：在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB.设BDx，有142102x2210xcos60，x210x960.x116，x26(舍去)，即B
9、D16.在BCD中，由正弦定理，可得BCsin308.20(12分)已知ABC中，A120，a7，bc8，求b，c，sinB及ABC的面积解：在ABC中，由余弦定理得cosA.将a7，bc8代入得bc15，又bc8.或当b3，c5时，由正弦定理得，sinB.SABCbcsinA35.当b5，c3时，同理可得sinB，SABC.21(12分)在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Asin2Bcos2CsinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若c，求ABC周长的取值范围解：(1)由题意知1sin2Asin2B1sin2CsinAsinB，即sin2Asin2Bsin2C
10、sinAsinB，由正弦定理得a2b2c2ab，由余弦定理得cosC，又0C，C.(2)2，a2sinA，b2sinB，则ABC的周长Labc2(sinAsinB)22sin.0A，A，sin1，22sin2，ABC周长的取值范围是(2，222(12分)如图所示，直线a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一个信号在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，先用x表示B，C
11、到P的距离，并求x的值及PB，PC的长度；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)解：(1)PA，PB，PC的长度关系可以由收到信号的先后时间建立由题意PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)所以PB(x12) km，PC(18x) km.在PAB中，AB20 km，由余弦定理，得cosPAB.同理，在PAC中，AC54 km，cosPAC.由cosPABcosPAC，解得x.因此PBx1212(km)，PC18x18(km)(2)过P作PDa，垂足为D.在PDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)即静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.