1、31.1倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素知识点一直线的倾斜角1直线倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们取_作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角2直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角的取值范围是_，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_思考当一条直线的倾斜角为0时，此时这条直线一定与x轴平行吗？知识点二直线的斜率1直线斜率的定义一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即k_.思考所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？2倾斜角与
2、斜率k的关系直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由左向右下降的大小00909090180k的范围0k0不存在k0k的增减性随增大而增大随增大而增大知识点三直线斜率的坐标公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式是k_思考在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？题型一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135反思与感悟1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的
3、取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪训练1给出下列命题：任何一条直线都有惟一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为0的直线只有一条，即x轴；按照倾斜角的概念，直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一映射其中正确命题的个数是()A1B2C3D4题型二直线的斜率例2已知直线l过P(2，1)，且与以A(4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围反思与感悟1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan(90)解决2由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解3涉及直线与线段有
4、交点问题常数形结合利用公式求解跟踪训练2已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线AB和AC的斜率；(2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围题型三斜率公式的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值反思与感悟若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解跟踪训练3已知实数x，y满足yx2x2(1x1)，试求的最大值和最小值分类讨论思想例4设直线l过点A(6,12)，B(m,13)，求直线l的斜率k及倾斜角的取值范围分析直线的斜率存在时，首先由斜率公式求斜率k，然后由k确定倾斜角的取值范围；直线的斜率
5、不存在时，可直接下结论解(1)当m6时，直线l与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角90.(2)当m6时，k.当m6时，0，即k0，所以直线l的倾斜角的取值范围是090；当m6时，0，即k0，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.解后反思因为直线斜率的坐标公式中有限制条件x1x2，所以当两点的横坐标有参数存在时，要注意分x1x2和x1x2两类情况分别处理1下列命题正确的是()A两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行B若一条直线的倾斜角为，则sin(0,1)C若，2，3分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60D若是直线l的倾斜角，且tan，则452如图，直线l1，l2，l3的
6、斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k23若0，则经过P1(0，cos)，P2(sin，0)两点的直线的倾斜角为()ABC.D4直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是 ()A090B90180C90180D01805已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度2直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大3.运用两点P
7、1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2x1，y2y1中x2与y2对应，x1与y1对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90，斜率不存在提醒：完成作业3.13.1.1答案精析知识梳理知识点一1x轴正向向上201800思考不一定也可能与x轴重合知识点二1正切值tan思考不是若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角应为90.知识点三思考相等对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一
8、条直线的斜率一定相等题型探究例1D根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.跟踪训练1A序号正误理由任何一条直线都有惟一的倾斜角，故正确倾斜角的取值范围是0180，故错误所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0，故错误倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射，故错误例2解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故
9、斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.跟踪训练2解(1)由斜率公式，得直线AB的斜率kAB；直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.例3解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.跟踪训练3解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1,2)，B(1,4)则kPA，kPB7.k7，的最大值为7，最小值为.当堂检测1A2.D3.C4.C5(3,0)或(0,3)
