1、空间直线、平面的垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列条件中能推出mn的是()Am，n， Bm，n，Cm，n， Dm，n，【解析】选C.对于A，m，n，无法得出mn，因此错误；对于B，m，n，可得mn，因此无法得出mn，因此错误；对于C，m，n，可得n，由线面垂直的性质定理可知，可得mn，因此正确；对于D，m，n，可得m与n平行或相交或为异面直线，无法得出mn，因此错误2如图，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则ABAB等于()A.21 B31 C32 D43【解析
2、】选A.由已知条件可知BAB，ABA，设AB2a，则BB2a sin a，AB2a cos a所以在RtBBA中，得ABa，所以ABAB21.3已知直线l平面O，Al，Bl，A，B，且OAAB.若AC平面，垂足为C，BD平面，垂足为D，AC1，则BD()A2 B1 C D【解析】选A.因为AC平面，BD平面，所以ACBD.如图所示，连接OD，则.因为OAAB，所以.因为AC1，所以BD2.4(多选题)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AEPC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是()A.BC平面PAC BAEEFCACPB D平面AEF平面PBC
3、【解析】选ABD.在A中，因为C为圆上异于A，B的任意一点，所以BCAC，因为PABC，PAACA，所以BC平面PAC，故A正确；在B中，因为BC平面PAC，AE平面PAC，所以BCAE，因为AEPC，PCBCC，所以AE平面PBC，因为EF平面PBC，所以AEEF，故B正确；在C中若ACPB，则AC平面PBC，则ACPC，与ACPA矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，因为AE平面PBC，AE面AEF，所以平面AEF平面PBC，故D正确二、填空题(每小题5分，共10分)5把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小
4、为_【解析】底面积不变，在折叠过程中，高是先增加后减小设AC的中点为O，当DO平面ABC时，DO即为高，此时高最大此时DOB为等腰直角三角形，BD与平面ABC所成角为45.答案：45【加固训练】 如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_【解析】由题意知，BDAD，由于平面ABD平面ACD.且平面ABD平面ACDAD，所以BD平面ADC.又DC平面ADC，所以BDDC.连接BC，则BC1.答案：16在三棱锥SABC中，AC平面SBC，已知SCa，BCa，SB2a，则二面角SACB的大小为_【解析】因为AC平面S
5、BC，SC，BC平面SBC，所以ACSC，ACBC，所以二面角SACB的平面角为SCB.又SCa，BCa，SB2a，所以SB2SC2BC2，故SCB为直角三角形，所以SCB90.答案：90【加固训练】 棱长都相等的三棱锥(即正四面体)ABCD中，相邻两个平面所成的二面角的余弦值为_【解析】取BC的中点E，连接AE，DE，因为四面体ABCD是正四面体，所以BCAE，BCED.所以AED为二面角ABCD的平面角设正四面体的棱长为1则AE，DE，AD1.在ADE中可求得cos AED.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)7如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC2，AB2DC
6、，ABDC，BCD90.(1)求证：PCBC；(2)求多面体APBC的体积【解析】(1)因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为BCD90，所以BCCD.因为PDCDD，所以BC平面PCD.又PC平面PCD，所以PCBC.(2)因为PD平面ABCD，所以VAPBCSABCPD.因为ABDC，BCD90，所以ABC为直角三角形且ABC为直角因为PDDCBC2，AB2DC，所以VAPBCSABCPDABBCPD422.8如图所示，四棱锥PABCD的底面是一个直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由【
7、解析】平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EOBD于O，连接AO，CO.因为EO平面EBD，EOBD，平面EBD平面ABCDBD，所以EO平面ABCD.又因为PA平面ABCD，所以EOPA.因为A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，所以P，E，C三点的投影均在直线AC上，所以A，O，C三点共线又因为E是PC的中点，所以O是AC的中点又因为ABCD，所以ABOCDO.又因为AOOC，所以ABCD，这与CD2AB矛盾，所以假设不成立故平面EBD不能垂直于平面ABCD.9(2020全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AB
8、C是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90.(1)证明：平面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积【解析】(1)由题设可知，PAPBPC.由于ABC是正三角形，故可得PACPAB.PACPBC.又APC 90，故APB90，BPC90.从而PBPA，PBPC，故PB平面PAC，因为PB在平面PAB内，所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl，l2r22.解得r1，l，从而AB.由(1)可得PA2PB2AB2，故PAPBPC.所以三棱锥PABC的体积为PAPBPC3.【加固训练】 如图所示，在三棱锥ABCD中，ABB
9、CBD2，AD2，CBACBD，点E，F分别为AD，BD的中点(1)求证：平面ACD平面BCE；(2)求四面体CDEF的体积【解析】(1)因为CBACBD，所以BCAB，BCBD，又ABBDB，AB，BD平面ABD，所以BC平面ABD，又AD平面ABD，所以BCAD，因为ABBD，E为AD的中点，所以BEAD，又BCBEB，BC平面BCE，BE平面BCE，所以AD平面BCE，又AD平面ACD，所以平面ACD平面BCE；(2)由(1)可得BC为三棱锥CDEF的高，又点E，F分别为AD，BD的中点，所以EFAB1，FDBD1，由余弦定理可得cos ABD，又0ABD，0EFD，所以EFDABD，所以VCDEFSDEFBCBC2，所以四面体CDEF的体积为.