1、江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题 2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合，则 2设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 3若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2xy10上方的概率为 开始输出n输入p结束n1, S0S pnn + 1SS + 2nNY（第5题）4在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 5执行右边的程序框图，若p14，则输出的n的值为 6
2、函数的值域为 7等差数列中，若， 则 8现用一半径为10 cm，面积为80p cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 cm39已知，且，则的值为 10已知实数满足，则的取值范围是 11若函数是偶函数，则实数a的值为 12在ABC中，则的值为 13已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 14已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)已知，（1）求的值；（2）设函数，求函数
3、的单调增区间 16(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为梯形， 交于，锐角所在平面底面，点在侧棱上，且(第16题图)O （1）求证：平面； （2）求证：17(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P（1）若MNl，求PMN的面积 （2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明18(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？19(本小题满分16分)设数列的前项和，对任意，都有（为常数）（
4、1）当时，求；（2）当时， （）求证：数列是等差数列；（）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式20(本小题满分16分) 若实数满足，则称为函数的不动点（1）求函数的不动点；（2）设函数，其中为实数 若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是 的不动点（是函数的导函数），求实数的取值范围； 令，若存在实数，使， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学附加题 2020.05（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵M，对应的変换把点(2,1)变成点(7、1).(1) 求a,b的特征值. (2) 求矩阵M的特征值.B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长C(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围 必做题（第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）
6、22（本小题满分10分）已知(1x)2na0a1xa2x2a2nx2n（1）求a1a2a3a2n的值； （2）求的值 23（本小题满分10分）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢此时，两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束设再进行次抛币，游戏结束（1）若m，n，求概率；（2）若，求概率（）的最大值（用m表示） 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 7. 40 8. 9. 10. 1,7
7、11. 12. 1 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)解：（1）由，得，即，所以 因为，所以，所以，即 （2）由（1）知，所以 令， 得，所以函数的单调增区间是，16（本小题满分14分）证明：（1）如图，连接， 因为，所， 2分又，所以， 4分又平面， 平面，所以平面. 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面， 8分又平面，所以， 10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面， 12分又平面，所以 14分17（本小
8、题满分14分）解：（1）因为MNl，设直线MN的方程为， 由条件得，解得，即直线MN的方程为 因为，所以，即，所以 又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，所以PMN的面积为 （2）直线PM与圆O相切，证明如下： 设，则直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为 联立方程组解得点的坐标为，所以，由于，所以， 所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证 18. 设正三角形长为，如图，设，则，3分若以为底、为高，则圆柱底面半径， 6分当时，；当时，；所以8分若以为底、为高，则圆柱底面半径11分，令，得、当时，；当时，；所以 14分因为，所以以为底、为高，且时，体积最大。 16分19解
9、：（1）当，时，当时，所以当时，得：因为，所以，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以（2）（）当，时，当时，得：，所以得：因为，所以即，所以是等差数列（）因为，所以因为，所以，所以因为，所以又因为，所以，所以或当时，所以 不符合题意当时，所以满足题意所以20.解：（1）由题意可知，令，故2分列表：x10极大值所以，方程有唯一解所以函数的不动点为4分（2） 由题意可知6分消去，得，所以8分 由题意知，成各项都为正数的等比数列，故可设公比为，则故方程有三个根，11分又因为，所以为二次函数，故方程为二次方程，最多有两个不等的根则，中至少有两个值相等13分当时，方程有实数根，也即函数存在不
10、动点，符合题意；当时，则，故，又因为各项均为正数，则，也即，同上，函数存在不动点，符合题意；当时，则，同上，函数存在不动点，符合题意；综上所述，函数存在不动点16分附加题参考答案21A. B解：直线l的参数方程 (t为参数)化为直角坐标方程是yx3， 2分圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0 5分圆C的圆心(2，0)到直线xy30的距离为d 7分又圆C的半径r2，所以直线l被圆C截得的弦长为2 10分C. 解：设，即 所以的最小值为，所以 当时，不等式即为，解得，矛盾； 当时，不等式即为，解得，所以； 当时，不等式即为，解得，所以 综上，实数的取值范围是22. （1）令x0得，a01；令x1得，a0a1a2a3a2n22n于是a1a2a3a2n22n1 （2）akC，k1，2，3，2n，首先考虑，则()，因此() 故()()(1) 23(本小题满分10分)解：（1）依题意， （2）依题意，（）设 则而 （）（）因为的判别式（显然在时恒成立）， 所以又因为，所以（）恒成立，从而（）成立所以，即(当且仅当时，取“=”)，所以的最大值为，即的最大值为 S 第 14 页 （共14页）
