1、北京市大兴区2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，则一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误【详解】因为，选项A中，取，可知，因此不正确；选项B中，取，可知和不存在，因此不正确；选项C中，取，可知，因此不正确；选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.2.若数列满足，则（ ）A. 6B. 7C.
2、8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.【详解】因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.3.若，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.【详解】因为，且，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.4.若数列满足，则的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和
3、，属于简单题.5.设是任意实数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知，所以由可以得到，当，时，满足，但不满足所以由不能得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭
4、圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，所以由，得，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，设与直线交于点，由题意可知为线段的中点，所以，又因，所以，在中，可得，故，根据椭圆的定义
5、，得，即，得，所以，所以椭圆离心率.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点，所以，可得都是正数，由，可得，所以，不妨假设，这三个数可适当排序后成等差数列，则需按从大到小或从小到大排列，为的等差中项，即或成等差数列，所以，这三个数可适当排序后成等比数列，则需为的等比中项，即
6、或成等比数列，即所以解得，（舍去负值）从而得到，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式的解集为_.【答案】.【解析】试题分析：将原不等式变形为，不等式的解集为.考点：解一元二次不等式.10.命题“”的否定是_【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为，从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题
7、.12.已知数列的前项和，且，则_.【答案】【解析】【分析】由，得到关于的方程，得到的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立，所以问题转化对恒成立，即，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以得到.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积
8、都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则_；数列的前项和_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据等积数列的定义，得到，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列，公积为，所以，所以前项的和，有个，个，所以，得到当为偶数时，有个，个，所以，得到当为奇数时，所以故答案为：，.【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求证：.（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？【答案
9、】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.【解析】【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）当时，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的值最小，最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设是等差数列，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值；（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.
10、【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，.因为，成等比数列，所以，即有，解得，则.（2）由（1）中等差数列的通项，所以的前项和，由于为自然数，可得或时，取得最小值.（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，设为第项，和相同，则，设根据与的公差不相等，可知由，得，即，由和相同，得到则，即整理得，因为且，所以方程无解.故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，
11、等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）求使的的取值范围；（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式，得到答案；（2）按，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；（3）由（2）可知满足题意.【详解】（1）当时，所以不等式，即为所以解集为.（2）由，可得，即，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（3）由（2）可知，当时，恒成立，所以“函
12、数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点分别是，
13、所以，将点代入椭圆方程得，根据，得到，所以椭圆的标准方程为.（2）直线与椭圆联立，得，则，当，即，解得，方程有两个不同的实数根，即直线与椭圆有两个公共点；当，即，解得或，方程有两个相同的实数根，即直线与椭圆只有一个公共点；当，即，解得或，方程没有实数根，即直线与椭圆没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设是等比数列，.（1）求的通项公式；（2）求；（3）在和之间插入个数，其中，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；（2
14、）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，因为，所以；（2），所以；（3）因为，所以，因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，所以，设的第项最大，则，即，解得，所以或时，取得最大值，.【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆长半轴长；（2）求最大值；（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见
15、解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；（3）根据对称性设，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，因为离心率为，所以，而，所以，所以求椭圆长半轴长为；（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，可知当为长轴时候最长，此时.（3）由对称性可知、两点关于原点对称，所以设，则，不妨假设，则直线的方程为，令，得到，所以，同理，所以，所以而在椭圆上，所以，即，所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.