1、第三章3.13.1.1请同学们认真完成练案 21 A组素养自测一、选择题1(2020山西太原市高二期末)椭圆1的焦距为(C)A4B5C6D9解析因为椭圆的方程为1，所以a225，b216，因此c2a2b29，所以c3，所以焦距为2c6故选C2已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为(B)A3B4C5D6解析由椭圆的定义得两式相加得|AB|AF1|BF1|12，因为在AF1B中，有两边之和是8，所以第三边的长度为12843中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为(D)A1B1C1D1解析解法
2、一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A、B、C，故选D解法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0)，故选D4已知椭圆1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是(B)A2B4C8D解析设椭圆左焦点F，右焦点F1，2a10，|MF|2，|MF1|8，N为MF中点，O为FF1中点，|ON|MF1|45(2020房山区期末检测)“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是(A)Amn0Bnm0Cmn0Dmn0解析若方程表示椭圆，则m，n0，则方程等价为1，若方程表示焦点在y轴上椭圆，则等价为0，解得：mn0，故选A二、填空题6若椭圆1
3、上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是_4_解析由椭圆定义知，|PF1|PF2|2a10，|PF2|10|PF1|10647已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为_1_解析由题意可得，故b2a2c23，所以椭圆方程为18(2020福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为_2_解析由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc1，因为a2b2c2b22，所以a，故长轴长的最小值为2，答案为2三、解答题9求满足下列条件的
4、椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)ac135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26解析(1)由焦距是4可得c2，且焦点坐标为(0，2)，(0,2)由椭圆的定义知，2a8，所以a4，所以b2a2c216412又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为1(2)由题意知，2a26，即a13，又，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为1或110已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程解析设圆P的半径为r，又圆P过点B，|PB|r，又圆P与圆A内切
5、，圆A的半径为10两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6，a5，c3b2a2c225916即点P的轨迹方程为1B组素养提升一、选择题1椭圆1(0m3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为(C)A6B4mC12D4解析过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，四边形AF1CF2的周长为|AF1|AF2|CF1|CF2|4a椭圆1(0m3)，a3，四边形AF1CF2的周长为12故选C2(多选题)若方程1表示焦点在x
6、轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是(AD)Aa3Ba2C2a3D6a2解析由题意得a2a60，解得a3或6a2，故选AD3(多选题)直线2xby30过椭圆10x2y210的一个焦点，则b的值可以为(AB)A1B1CD解析椭圆方程化为标准形式为x21，焦点坐标为(0，3)，当直线过焦点(0,3)时，b1；当直线过焦点(0，3)时，b1故选AB4(2020湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角形，则MF1F2的面积为(D)A5B10C2D 4解析设M(m，n)，m，n0，则m(0,6)，n(0，2)，椭圆C：1的a6
7、，b2，c4设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|MF2|，|F1F2|2c8，因为|MF1|MF2|2a12，所以|MF1|6，|MF2|6，MF1F2为等腰三角形，只能|MF1|2c8，则|MF2|4，由勾股定理得|MF2|2(4m)2n216，又1，联立并消去n得m218m450，且m(0,6)，解得m3，则n则MF1F2的面积为84故选D二、填空题5已知椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_2_，F1PF2的大小为_120_解析由|PF1|PF2|6，且|PF1|4，知|PF2|2在PF1F2中，cosF1PF2故
8、F1PF21206下列命题是真命题的是_已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；若点P到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆解析2，故点P的轨迹不存在；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；点M(5,3)到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和为48，故点P的轨迹为椭圆故填7设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标
9、为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_15_解析由椭圆的方程可得a5，b4，c3F1(3,0)，F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF1|PF2|2a10，|PM|PF1|PM|2a|PF2|10(|PM|PF2|)10|MF2|1015，|PM|PF1|的最大值为15三、解答题8已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a3b，求椭圆的标准方程解析当焦点在x轴上时，设其方程为1(ab0)由椭圆过点P(3,0)，知1，又a3b，解得b21，a29，故椭圆的方程为y21当焦点在y轴上时，设其方程为1(ab0)由椭圆过点P(3,0)，知1，又a3b，联立解得a281，b29，故椭圆的方程为1故椭圆的标准方程为1或y219如图所示，在圆C：(x1)2y225内有一点A(1,0)Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程解析如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|MQ|MC|又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|5又A(1,0)，C(1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且2a5，c1，故a，b2a2c21故点M的轨迹方程为1