1、第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章 三角函数、解三角形1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()_；cos()_；tan()_，均不为k2，kZ.sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_；cos 2_；tan 2 2tan 1tan2，2均不为k2，kZ.2sin cos cos2sin22cos2112sin23三角公式关系1两角差余弦公式的推导过程如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B.则OA(co
2、s，sin)，OB(cos，sin)由向量数量积的坐标表示，有OA OB(cos，sin)(cos，sin)cos cos sin sin.设OA 与OB 的夹角为，则OA OB|OA|OB|cos cos cos cos sin sin.另一方面，由图(1)可知，2k；由图(2)可知，2k.于是 2k，kZ.所以 cos()cos.即 cos()cos cos sin sin.2辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错(2)在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的3有关公式的逆用及变形用(1)tan tan tan()(1tan tan)；(2)co
3、s21cos 22，sin21cos 22；(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4角的变换技巧()；()；12()()；12()()；424.1.教材习题改编 化简 cos 18cos 42cos 72sin 42的值为()A 32 B12C12D 32B 解析 法一：原式cos 18cos 42sin 18sin 42cos(1842)cos 6012.法二：原式sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242)sin 3012.2.教材习题改编 已知 sin(k)35(kZ)，则 cos 2 的值为()A 7
4、25B 725C1625D1625A 解析 由 sin(k)35(kZ)得 sin 35.所以 cos 212sin212(35)211825 725.故选 A.3.教材习题改编 已知 cos 35，是第三象限角，则 cos(4)为()A 210B 210C7 210D7 210A 解析 因为 cos 35，是第三象限的角，所以 sin 1cos21（35）245，所以 cos(4)cos 4cos sin 4sin 22(35)22(45)210.4已知 tan6 37，tan6 25，则 tan()的值为()A2941B 129C 141D1D 解析 tan()tan6 6 tan6 ta
5、n61tan6 tan6 3725137251.5.教材习题改编11tan 1511tan 15_解析 原式2tan 15（1tan 15）（1tan 15）2tan 151tan215 tan 30 33.33 三角函数公式的直接应用典例引领(1)(2016高考全国卷丙)若 tan 13，则 cos 2()A45 B15C15D45D(2)(2016高考全国卷甲)若 cos4 35，则 sin 2()A 725B15C15D 725D【解析】(1)法一：由 tan 13，得 sin 1010，cos 3 1010 或 sin 1010，cos 3 1010，所以 cos 2cos2sin24
6、5，故选 D.法二：cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan21132113245.(2)因为 cos4 cos4cos sin 4sin 22(sin cos)35，所以 sin cos 3 25，所以 1sin 21825，所以 sin 2 725，故选 D.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示 的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的 通关练习1计算：1cos210cos 80 1cos 20()A 22B12C 32D 22A 解析1cos210cos 80 1cos 20
7、 sin210sin 10 1（12sin210）sin2102sin210 22.2已知 0，2，tan 12，求 tan 2 和 sin23 的值解 tan 2 2tan 1tan2212112243.因为 0，2，2(0，)，tan 2430，所以 20，2，所以 sin 245，cos 235，所以 sin23 sin 2cos3cos 2sin3 451235 32 43 310.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角函数公式高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1
8、)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用典例引领(1)已知 sin 223，则 cos2(4)等于()A16 B13C12D23(2)cos 15sin 15cos 15sin 15 的值为()A 33B 3C 33D 3A B【解析】(1)cos2(4)1cos 2（4）2 1cos（22）21sin 221232 16，故选 A.(2)原式1tan 151tan 15 tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)3.三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan tan tan()(1t
9、an tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用 题点通关角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用1(1tan 18)(1tan 27)的值是()A 3B1 2C2D2(tan 18tan 27)C 解析 原式1tan 18tan 27tan 18tan 271tan 18tan 27tan 45(1tan 18tan 27)2，故选 C.角度二 二倍角公式的活用2(2017东北三省三校联考)已知 sin cos 13，则 sin2(4)()A 118B1718C89D 29
10、B 解析 由 sin cos 13两边平方得 1sin 219，解得 sin 289，所以 sin2(4)1cos（22）2 1sin 221892 1718.3.3tan 123sin 12（4cos2122）_解析 原式3sin 12cos 123sin 12（4cos2122）3sin 123cos 122sin 12cos 12（2cos2121）2 312sin 12 32 cos 12sin 24cos 24 2 3sin（1260）12sin 484 3.4 3 角的变换典例引领(1)(2017深圳一模)若，都是锐角，且 cos 55，sin()1010，则 cos()A 22
11、B 210C 22 或 210D 22 或 210A(2)(2017六盘水质检)已知 cos 13，cos()13，且、0，2，则 cos()的值等于()A12B12C13D2327D【解析】(1)因为，都是锐角，且 cos 55，sin()1010，所以 sin 2 55，cos()3 1010，从而 cos cos()cos cos()sin sin()22，故选 A.(2)因为 0，2，所以 2(0，)因为 cos 13，所以 cos 22cos2179，所以 sin 2 1cos224 29，而，0，2，所以(0，)，所以 sin()1cos2（）2 23，所以 cos()cos2()
12、cos 2cos()sin 2sin()79 13 4 29 2 23 2327.若本例(2)条件不变，求 cos 2 的值解 因为 cos 13，cos()13，且，0，2，所以(0，)，所以 sin 2 23，sin()2 23，cos cos()cos()cos sin()sin 13132 23 2 23 79.所以 cos 22cos21279211781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”通关练习1已知 tan()1，tan3 13，则 tan3的值为()A23B12C34D45B 解析 tan3 tan（）3 tan（）tan31tan（）tan3113111312.2设 为锐角，若 cos6 45，则 sin2 12 的值为_解析 因为 为锐角，cos6 45，所以 sin6 35，sin 26 2425，cos 26 725，所以 sin2 12 sin26 4 2425 22 725 22 17 250.17 250本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放