1、1.1.2 余弦定理（第一课时）教师林瑶珍科目数学上课时间2012年2 月29日教学内容分析本节是本章一个比较重要的、典型的应用型知识点。我们将在以前学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的基础上，通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。学生情况分析初中阶段，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，即“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”。学生在教师的引导下已经对第
2、一个问题进行定量的研究从而得出正弦定理，学生对三角形边角关系有了较进一步的了解，在此基础上，本节课仍然从量化的角度利用向量方法来研究第二个问题得出余弦定理，并应用定理及其结论解三角形，让学生体验数学知识的联系性和应用性。但是，学生创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度。教学目标知识与能力1、 掌握证明余弦定理的向量方法；2、能够应用余弦定理及其推论解三角形；3、了解余弦定理与勾股定理之间的联系.过程与方法1、通过对三角形边角关系的探究，利用向量的数量积推出余弦定理及其推论；2、经历实验观察、实例探究讨论交流的过程，体验三角形的边角关
3、系；3、通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.情感态度与价值观1、注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则；2、培养在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；3、通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，理解事物之间普遍联系和辩证统一的规律.教学重难点重点：掌握余弦定理及其推论的证明及其应用难点：探究余弦定理证明的过程教学方法“引导发现法”、“讨论交流法”、“讲练结合法”教学过程设计流程教师活动学生活动设计意图课前一练已知学生利用已学知识计算求解为本节课利用向量的数量积证明余弦定理建立认知基础，为探究环节做好铺垫复习回顾1、 正弦定理：2、 用正弦定理可解决的两类
4、解三角形的问题: 已知两角及一边； 已知两边及其中一边的对角.学生集体回顾思考知识是一环紧扣一环，通过循环式的复习模式强化记忆创设情境千岛湖是我国浙江省杭州市内的一座人工湖，也是世界上岛屿最多的湖。因湖内拥有星罗棋布的1078个岛屿而得名。如图1，假如A,B,C是湖上的三个岛屿，岛屿A与C之间的距离是80km，岛屿B与C之间的距离是30km，且在岛屿C测得A,B之间的夹角为60，你是否能求出岛屿A，B 之间的距离？ caABC （图1） b （图2） 思考：如何将以上实际问题转化为数学问题？（提问学生回答）学生思考，得出结论：如图2，在ABC中，已知,和角C求边.培养学生从文字语言、图形展示、
5、符号语言等多角度理解问题的本质的能力流程教师活动学生活动设计意图探究新知ABC从向量的角度，结合“课前一练”进行分析。 （图3）如图3，设，那么由三角形法则有, 同理可以证明： , .1、 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 【注】定理指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现。应用余弦定理，可解决“已知三角形任意两边及其夹角求第三边”的问题。对以上问题进行分组讨论，交流，尝试得出用已知的表示第三边的表达式使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”
6、问题流程教师活动学生活动设计意图探究新知例1:（“创设情境”中的问题）在ABC中，已知,求边.教师在黑板上演示具体的求解过程解：根据余弦定理，得 = =900+6400-2400 =4900 变式1-1：在ABC中，已知注意：解题过程中注意对角A取值进行判断.思考：此题是否有其他方法可求出角A？教师引导学生观察余弦定理的表达式，式子中有几个量？从方程的角度看，已知其中三个量，可以求出第四个量。 （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：2、余弦定理的推理： , ,.【注】应用余弦定理的推论，可解决“已知三角形三边求出其它角”的问题。学生根据余弦定理迅速算出结果学生根据余弦定理容易求直接求出利
7、用正弦定理，可相应求出角，最后根据内角和定理求出角C学生观察余弦定理的表达式，将式子进行移项变形得出余弦定理的推论应用数学知识求解问题，同时，巩固好余弦定理知识，发现定理在解三角形中的综合应用从数量的角度刻画三角形全等的“边、边、边”问题.通过问题的提出，激发学生的求知欲，进一步实现知识间的迁移流程教师活动学生活动设计意图探究新知变式1-2：利用余弦定理的推论求解变式1-1中的角A，并比较两种方法的利弊。归纳总结：当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但是正弦定理不能直接判定；但是余弦定理相对于正弦定理的计算量较大.思考：如果已知三角形的两边及其一边的对角，能否应用余弦定理求解？
8、例2：在ABC中，已知分析：此时若将c当成已知，角B是的夹角。归纳：利用余弦定理及其推论可解决的解三角形问题1、 已知两边及一角； 2、已知三边求其它角.学生讨论交流并说出两个方法在求一个角时的优点和缺点学生思考讨论通过两种不同的方法求解，简单比较两种不同方法的利弊，进一步深化正弦、余弦定理利用解方程的方法解决问题，培养学生应用方程的思想解决问题的能力深入探究思考：勾股定理给出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有什么关系？结论：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。学生分组讨论交流，尝试给出结论明确知识间的联系，理解定
9、理的本质巩固练习1、 在ABC中，求ABC的最小角.2、 在ABC中，若3、 已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，求顶角的余弦值.学生自己动手操作解答用练习巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养流程教师活动学生活动设计意图课堂小结这节课我们主要学习了什么内容？1、 余弦定理及其推论的表达形式2、 余弦定理解三角形的类型：已知两边及一角；已知三边.3、 余弦定理与勾股定理的联系学生回复反思通过提出问题，让学生回复本节课所学内容，进一步巩固知识课后作业1、课时训练区P72 第1-6、10题2、课后思考：如何用其它方法证明余弦定理？及时巩固课堂知识板书设计多媒体
10、投影1.1.2余弦定理例1解：1、 余弦定理 2、 推论 3、解三角形4、 勾股定理与余弦定理的联系教学反思本节的教学对象是面上班级的学生，因此在教学设计的过程中从学生的认知基础出发，通过一个个的问题，层层递推，引导学生探究本节课的重难点。为了突破本节课难点，在课前通过一个练习题帮助学生建立认知基础，为后边的探究环节做好铺垫。在本节课的学习中，学生是学习知识的主体，教师充当引导者，引导学生解决一个个的问题，学生讨论交流的过程中基本能够解决本节课所需要掌握的内容,同时培养学生学会一题多解的意识。然而不够理想的是：在探究环节，预设的是让学生分组讨论并上黑板推算证明，然后针对学生在证明过程中遇到的问题加以强调纠正。但是在这一环节引导不够充足，急于出示证明结论，所以导致有点仓促。在巩固练习环节应注重思路引导，启发学生探索解题的关键和突破口；在新授课的例题讲解过程中，应完善规范解答过程，比如在变式1-1中，在确定角A的取值时，应说明“在ABC中，AA=60”.