1、广东普宁二中2020-2021年第二学期高三数学适应性考试（二）试题一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题只有一项符合题目要求.)1.已知集合，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）.A B C D2. 设是一个平面，是两条直线，则的充分不必要条件是（ ）.A内有无数条直线与垂直 B内有两条直线与垂直C， D，3.甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），己知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五可推测5人的名次排列情况共有（ ）种.A5 B8 C14 D214.已知向量，若，则的值是（ ）.A B C D5.已知椭圆的左焦点
2、为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）.A B C D6.已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）.A B C D7三棱锥中，平面，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为.ABCD8.已知点在抛物线()上，直线交抛物线于点、，且直线与都是圆：的切线，则直线的方程为（ ）.A B C D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 给定函数下列说法正确的有（ ）.A函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B函数的图象与
3、x轴有两个交点C当时，方程有两个不同的的解D若方程只有一个解，则10. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）.A BC D在复平面内对应的点位于第二象限11. 已知，则下列选项一定正确的是（ ）.A B的最大值为 C D12. 如图，在平行四边形中，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）.A平面平面B三棱锥四个面都是直角三角形C与所成角的余弦值为D过的平面与交于，则面积的最小值为三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2
4、0分)13.正三棱柱的所有棱长均为，点为棱的中点，则四棱锥的体积为_. 14.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数的值域为_，则与是“同域函数”的一个解析式为_.15.已知双曲线，当双曲线的渐近线夹角取值范围是时，其离心率的取值范围是 .16.在中，角的对边分别为， ，若有最大值，则实数的取值范围是_.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（本小题满分10分）已知数列中，且，记，（1）求证：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，若，求数列的前项的和.18（本小题满分12分）在，这三个条件中任选一个，补充
5、在下面问题中，并作答问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_(1)求角A；(2)若是内一点，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题满分12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起得三棱锥，如图乙（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值20（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异 于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形 （1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求定点坐标.21（本小题
6、满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(BPascal)提出了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)一起讨论了这个问题，后来惠更斯(CHuygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注（1）甲乙赌博意外终止，若，则
7、甲应分得多少赌注？（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，且，证明：.2020-2021年第二学期高三适应性考试（二）试题答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 12345678BCCADACD8.解：由点在抛物线()上，得，抛物线方程为：，圆：可化为，则可知圆的圆心为点，半径，设过点且与圆相切的直线的方程为，即，则，设直线的方程为，联立得，设，则，同理，设，
8、则，因此，则直线的斜率，直线的方程为，即，故直线的方程为，故选：D二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9101112ACDABBDABD11.解：因为，所以，所以，对于A：因为，所以，所以，所以，故A错误；对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误；对于D：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，当时取最大值，此时，此时两次取等条件不一致，故，故D正确，故选：BD12.解：中，由余弦定理可得，故，所以，因为平面平面且平面平面，所以平面，；同理平面，
9、因为平面，所以平面平面，A，B正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，即与所成角的余弦值为，C错误；因为在线段上，设，则，所以点到的距离，当时，取得最小值，则面积取得最小值，D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 14. ， 或者 （答案不唯一） 15. 16.16.解：由正弦定理得，所以，所以.当，即时，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是. 四、解答题：17.（1）证明：由，得， 1分又，即， 3分即数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 4分（2）解：由（1）知：，则，故， 5分则当
10、时， ， 7分当时，9分则 10分19（1）证明：如图，取的中点为，连接， 1分， ，同理又， 3分 ，平面，平面4分又平面，平面平面 5分（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知， 7分三棱锥和的体积比为， 8分设平面的法向量为，则，令，得10分设直线与平面所成角为，则， 11分直线与平面所成角的正弦值为12分20.解：（1）由题意知设，则的中点为2分因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）由，解得 4分所以抛物线的方程为 5分（2）由（1）知设， 因为，则， 由得，故故直线和直线平行， 6分设直线的方程为， 代入抛物线方程得：，由题意，得设，则， 8分当时，可得直线的方程为：，由
11、， 整理可得：，直线恒过点 10分当时，直线的方程为，过点 11分所以直线过定点 12分21解：（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注 1分当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以，3分所以，甲赢的概率为， 4分所以，甲应分得的赌注为元 5分（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3，4， 6分当时，乙以赢，；当时，乙以赢，； 7分所以，乙赢得全部赌注的概率为，于是甲赢得全部赌注的概率， 9分求导， 因为，所以，所以在上单调递增，于是 11分故乙赢的概率为，故事件是小概率事件12分22.解：（1）的定义域为， ， 1分由，得，从而；由，得，从而；3分所以，的单调递减区间为；单调递增区间为. 4分（2），即， 5分令，则，.当时，；当时，故时，恒成立，所以在上单调递增， 6分不妨设，注意到，所以， 7分令，则， 8分令，则，所以在上单调递增，从而， 9分即，所以在上单调递减，于是， 10分即，又，即，故，11分而在上单调递增，所以，即. 12分