1、11.2 正弦定理 第2课时 正弦定理(2)第11章 解三角形 学 习 任 务核 心 素 养 1熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2能根据条件，判断三角形解的个数 3能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1通过三角形个数判断的学习，培养数学运算和逻辑推理的素养 2借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 在ABC 中，分别根据所给条件作图，求满足条件的ABC 的个数(1)A60，b4，a2，(2)A60，b4，a3 问题：A60，b4，a 为何值时，作出的三角形是唯一的
2、？知识点 1 解三角形的类型(1)已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况 如已知两边 a，b 和 a 的对角 A，解的情况如下表：A2A2Ab一解一解一解ab无解无解一解 absin A两解absin A一解ab无解无解a1，所以此三角形无解；对于，由正弦定理，得 sin Ccbsin B5 26 sin 4556b，所以此三角形有两解；对于，由正弦定理，得 sin Aabsin B1510sin 1203 34 1，所以此三角形无解；对于，由正弦定理，得 sin Bbcsi
3、n C 66 3sin 6012b，所以 BC，B30，A90，所以此三角形只有一解 知识点 2 三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)SABC12bcsin A，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABC12ah，其中 a 为ABC 的一边长，而 h 为该边上的高的长 12acsin B12absin C(3)SABC12r(abc)12rl，其中 r，l 分别为ABC 的内切圆半径及ABC 的周长(4)SABC ppapbpc，其中 p 为ABC 的半周长，即p12(abc)该公式称为海伦秦九韶公式，适用于三角形三边为有理数时，计算三角形的面积比较简
4、便 2在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a4，b3，C60，则ABC 的面积为()A3 B3 3 C6 D6 3 B 由 S12absin C1243 32 得 S3 3，故选 B合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 三角形解的个数的判断【例 1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2 3，b6，A30 解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010 3，absin A，本题无解(2)a2 3，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，三角形有两解 由正弦
5、定理得 sin Bbsin Aa6sin 302 3 32，又B(0，180)，B160，B2120 当 B160时，C190，c1asin C1sin A 2 3sin 90sin 304 3；当 B2120时，C230，c2asin C2sin A 2 3sin 30sin 302 3 B160时，C190，c14 3；B2120时，C230，c22 3 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值不等于 1 时在 0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理
6、矛盾，就是所求.跟进训练 1ABC 中，ax，b2，B45若该三角形有两解，则 x的取值范围是_(2，2 2)由 asin Bba，得 22 x2x，2x2 2 类型 2 三角形的面积【例 2】在ABC 中，若 a2，C4，cos B22 55，求ABC的面积 S 解 cos B22 55，cos B2cos2 B2135 B0，2，sin B45 C4，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C7 210 asin Acsin C，casin Csin A 27 210 22 107 S12acsin B122107 4587 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三
7、角形的面积公式为 S12absin C12acsin B12bcsin A跟进训练 2(1)在ABC 中，若 a3 2，cos C13，SABC4 3，则 b_ (2)在ABC 中，AB 3，AC1，B30，则ABC 的面积等于_(1)2 3(2)32 或 34 (1)cos C13，C(0，90)，sin C11322 23，又 SABC12absin C123 2b2 23 4 3，b2 3(2)由正弦定理得 sin CABsin BAC3121 32，又C(0，180)，C60或 120，A90或 30，SABC12ABACsin A 32 或 34 类型 3 正弦定理的综合应用【例 3
8、】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C(1)求 C 的大小；(2)若 c2 3，A6，求ABC 的面积 1由 mnsin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大小；2由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形的面积公式求解.解(1)由题意知，mnsin Acos Bsin Bcos Asin 2C，即 sin(AB)sin 2C，sin C2sin Ccos C 由 0C0 所以 cos C12，C23 (2)由 C23，A6，得 BAC6 由正弦定理，bsin Bcsin C，即 bsin6 2 3s
9、in23，解得 b2 所以ABC 的面积 S12bcsin A1222 3sin 6 3 (变条件，变结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若 ac2b，2cos 2B8cos B50”，求角 B 的大小并判断ABC 的形状 解 2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50 4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0 解得 cos B12或 cos B32(舍去)0B，B3 ac2b 由正弦定理，得 sin Asin C2sin B2sin 3 3 sin Asin23 A
10、3，sin Asin 23 cos Acos 23 sin A 3 化简得32sin A 32 cos A 3，sinA6 1 0A23，6A656，A62A3，C3 ABC 是等边三角形 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.跟进训练 3在ABC 中，已知 c10，cos Acos Bba43，求 a，b 及ABC的内切圆半径 解 由正弦定理知sin Bsin Aba，cos Acos Bsin Bsin A 即 sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2
11、B 又ab 且 A，B(0，)，2A2B，即 AB2 ABC 是直角三角形且 C2，由a2b2102，ba43，得 a6，b8 内切圆的半径为 rabc2681022当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1在ABC 中，sin Asin C，则ABC 是()A直角三角形B等腰三角形 C锐角三角形D钝角三角形 B 由正弦定理可得 sin Asin C a2R c2R，即 ac，所以ABC为等腰三角形 1 2 3 4 5 2在ABC 中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解B两解 C无解D无法确定 A 由 ba 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解 1 2 3 4 5 3在ABC
12、中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a1，b 3，B60，则ABC 的面积为()A12 B 32 C1 D 3 B a1，b 3，B60，由正弦定理可得：sin Aasin Bb1 323 12，ab，A60，A30，C180AB90，SABC12ab121 3 32 故选 B 1 2 3 4 5 4在ABC 中，A23，a 3c，则bc_ 1 由 asin Acsin C得 sin Ccsin Aa 13 32 12，又 0C3，所以 C6，B(AC)6 所以bcsin Bsin Csin6sin61 5 1 2 3 4 5在ABC 中，若 b5，B4，tan A2，则 sin
13、 A_，a_ 2 55 2 10 由 tan A2，得 sin A2cos A，由 sin2Acos2A1，得 sin A2 55，b5，B4，由正弦定理 asin A bsin B，得 absin Asin B 2 5222 10 回顾本节知识，自我完成以下问题：1正弦定理的常见变形有哪些？提示 正弦定理的常见变形：sin Asin Bsin Cabc；asin A bsin B csin Cabcsin Asin Bsin C2R；a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R 2正弦定理及其变形体现了怎样的数学思想？提示
14、正弦定理及其变形体现了转化化归的数学思想具体如下：利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化，一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决 3已知三角形的任意两边及一边的对角，如何判断其解的情况？提示 判断方法常有两种：法一：如下表，过点 C 作 AB 的垂线，根据边 a 与 AB 边上的高的大小关系来判断解的个数 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 A 为锐角 A 为钝角或直角 关系 式absinA，或abbsin Aababab解的 个数一解两解无解一解无解 法二：由正弦定理 asin A bsin Bsin Bbsin Aa，若 sin
15、 B1，则无解；若 sin B1，则一个解；若 0sin B1，则由三角形“大边对大角”来确定角 B 的范围，从而判断解的情况 数学阅读拓视野 NO.4秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长 a，b，c 求三角形面积 S，即 S14c2a2c2a2b222“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积 事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下：S214c2a2sin2B14(c2a2c2a2cos2B)，又因为 cacos Bc2a2b22，所以 S214c2a2c2a2b222，从而可知 S14c2a2c2a2b222点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
