1、4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教
2、师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激
3、发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线，从圆外一点引切线，已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是日出，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课
4、堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题已知两点A(2
5、，5)，B(6，9)，如何求它们之间的距离?若已知C(3，8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？讨论结果：根据两点之间的距离公式，得|AB|=，|CD|=.平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心C是定点，
6、圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r0).设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.将上式两边平方得(xa)2+(yb)2=r2.化简可得(xa)2+(yb)2=r2.若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程，反之若点M的坐标满足方程，这就说明点M与圆心
7、C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上.方程就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1.点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r且r0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是
8、圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：1根据题意，设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2；2根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；3解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.点M(x0，y0)与圆(xa)2+(yb)2=r2的关系的判断方法：当点M(x0，y0)在圆(xa)2+(yb)2=r2上时，点M的坐标满足方程(xa)2+(yb)2=r2.当点M(x0，y0)不在圆(xa)2+(yb)2=r2上时，点M的坐标不满足方程(xa)2+(yb)2=r
9、2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径，点在圆外(x0a)2+(y0b)2r2，点在圆外;2点到圆心的距离等于半径，点在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2，点在圆上;3点到圆心的距离小于半径，点在圆内(x0a)2+(y0b)2r2，点在圆内.应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；圆心在点C(3，4)，半径是;(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x4y7=0相切.解:(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x0)2+(y0)2=32，即x2+y2=9.(2)由于圆心在
10、点C(3，4)，半径是5，所以圆的标准方程是(x3)2+(y4)2=(5)2，即(x3)2+(y4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=5，因此所求圆的标准方程为(x8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x8)2+(y+3)2=r2，因为圆经过点P(5，1)，所以(58)2+(1+3)2=r2，r2=25，因此所求圆的标准方程为(x8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x1)2+(y3)2=r2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r=.因此所求圆的
11、标准方程为(x1)2+(y3)2=.点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2，3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，7)，M2(，1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2，3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x2)2+(y+3)2=25，把点M1(5，7)，M2(，1)分别代入方程(x2)2+(y+3)2=25，则M1的坐标满足方程，M1在圆上.M2的坐标不满足方程，M2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在
12、不在圆上从代数到几何.例3 ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，3)，C(2，8)，求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，因为A(5，1)，B(7，3)，C(2，8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(xa)2+(yb)2=r2，于是解此方程组得所以ABC的外接圆的方程为(x2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB的中点坐标为(6
13、，1)，斜率为2，所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x6). 同理线段AC的中点坐标为(3.5，3.5)，斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x3.5). 解由组成的方程组得x=2，y=3，所以圆心坐标为(2，3)，半径r=5，所以ABC的外接圆的方程为(x2)2+(y+3)2=25.点评:ABC外接圆的圆心是ABC的外心，它是ABC三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路.思路2例1 下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2
14、的长度(精确到0.01 m).解:建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0，4)，B(10，0).设圆的方程为x2+(yb)2=r2，因为点P(0，4)和B(10，0)在圆上，所以解得所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.设点P2(2，y0)，由题意y00，代入圆方程得(2)2+(y0+10.5)2=14.52，解得y0=10.514.3610.5=3.86(m).答：支柱A2P2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x2+y22x=0外切，且与直线x+y=0相切于点(3，)的圆的方程.活动:学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利
15、用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2.圆x2+y22x=0的圆心为(1，0)，半径为1.因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即=r+1，由圆与直线x+y=0相切于点(3，)，得解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=4，r=6.故所求圆的方程为(x4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.点评:一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O和点P(1，3)，圆心
16、在直线y=x+2上，求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上，所以设圆心坐标为(a，a+2).则圆的方程为(xa)2+(ya2)2=r2.因为点O(0，0)和P(1，3)在圆上，所以解得所以所求的圆的方程为(x+)2+(y)2=.解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3，中点坐标为(，)，所以弦OP的垂直平分线方程为y=(x)，即x+3y5=0.因为圆心在直线y=x+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，所以由解得，即圆心坐标为C(，).又因为圆的半径r=|OC|=，所以所求的圆的方程为(x+)2+(y)2=.点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量，要求圆的标准方程即要求a、b、r三个
17、量，有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=2x上且与直线y=1x相切于点(2，1).(2)圆心在点(2，1)，且截直线y=x1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a，2a)，由题意知圆与直线y=1x相切于点(2，1)，所以，解得a=1.所以所求圆心坐标为(1，2)，半径r=.所以所求圆的标准方程为(x1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x2)2+(y+1)2=r2(r0)，由题意知圆心到直线y=x1的距离为d=.又直线y=x1被圆截得弦长为2，所以由弦长公式得r2d2=2，即r=2.所以所求圆的标准方程为(x
18、2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2，所以半径为r=1.方法一：设与两直线3x+4y7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0，由平行线
19、间的距离公式d=，得，即k=2，所以直线方程为3x+4y2=0.解3x+4y2=0与y=2x组成的方程组得，因此圆心坐标为(，).又半径为r=1，所以所求圆的方程为(x)2+(y)2=1.方法二：解方程组因此圆心坐标为(，).又半径r=1，所以所求圆的方程为(x)2+(y)2=1.点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理.课堂小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方程.直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A组第2、3题.
