1、阶段性综合检测(四)解析几何初步圆锥曲线方程时间120分钟满分150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是，则此直线的斜率是()A.BC.D解析：设倾斜角为，则cos，sin，斜率ktan.答案：A2(2014于都一模)已知过A(1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2xy10平行，则a的值是()A5B2C10D17解析：依题意得kAB2，解得a2.答案：B3(2014丰台一模)过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1
2、)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：方法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.圆心C在直线xy20上，b2a.|CA|2|CB|2，(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，a1，b1，r2，圆C的方程为(x1)2(y1)24.方法二：kAB1且AB的中点为(0,0)，AB的垂直平分线方程为yx.由可得圆心坐标为(1,1)，半径r2，故所求圆的方程为(x1)2(y1)24.答案：C4(2014白山联考)当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22
3、x4y0Dx2y22x4y0解析：把直线方程化为(xy1)a(x1)0，令得直线过定点C(1,2)，圆C的方程为(x1)2(y2)25，化为一般式为x2y22x4y0.答案：C5(2014北京房山区一模)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()Ax1By1Cx2y30Dxy10解析：若ACB最小，则CMl，可知C(2,0)，kCM2，直线l的斜率为k，直线l的方程为y2(x1)，即x2y30答案：C6(2014诸城一中月考)已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线1和1的离心率，则lge1lge2的值()A大于0且小于1B大于1C
4、小于0D等于0解析：可知e1，e2，lge1lge2lg(e1e2)lg，1，lge1lge2lg10.答案：C7(2014山东实验中学诊断)抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为()A1 B.C. D.解析：抛物线的焦点为F(2,0)，渐近线方程为yx，即x3y0，故焦点F到双曲线渐近线的距离为d1.答案：A8(2014许昌模拟)已知抛物线x24y的准线过双曲线y21的焦点，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：易知抛物线的准线方程为y，双曲线y21的焦点坐标为(0，)，m213c2，c，双曲线的离心率为e.答案：C9(2014贺兰一中期末)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴
5、上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：对于椭圆C1，a13，c5，曲线C2为双曲线，c5，a4，b3，故其标准方程为1.答案：A10(2014兰州模拟)已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|F1F2|，则PF1F2的面积等于()A24B36C48D96解析：双曲线C：1中，a3，b4，c5，F1(5,0)，F2(5,0)|PF2|F1F2|，|PF1|2a|PF2|61016.作PF1边上的高AF2，则|AF1|8，|AF2|6，答案：C11(2014孝
6、感一中期末)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B3C. D.解析：利用抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F(，0)交抛物线于点P，则点P使所求距离最小，其最小值为.答案：A12(2014莱芜期末)点P到点A(，0)，B(a,2)及到直线x的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是()A. B.C.或D或解析：点P到点A(，0)与到定直线x的距离相等，点P在以A为焦点，以直线x为准线的抛物线上，同时在线段AB的垂直平分线上，结合图形可知适合条件的点B的坐标为(，2)和(，2)，故a或.答案：D第卷(
7、非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2014大庆35中模拟)直线yx1被抛物线y24x截得的线段中点的坐标是_解析：设直线yx1与抛物线y24x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点P(x0，y0)方法一：联立方程组得(x1)24x，即x26x10，x03，y0x012，中点坐标为P(3,2)方法二：y4x2，y4x1，yy4x24x1，4，y1y24，即y02，x0y013，故所求中点为P(3,2)答案：(3,2)14(2
8、014德州二模)已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A，B两点，且|AB|，则_.解析：如图，作OCAB于点C，|AB|，在RtOAC中，AC，OA1，所以AOC60，则AOB120，所以11cos120.答案：15(2014南阳一中模拟)过双曲线的一个焦点的直线垂直于渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线的离心率的范围为_解析：设双曲线的方程为1(a0，b0)，F(c,0)，渐近线yx，则过点F的直线方程为y(xc)，联立方程组得(b4a4)x22a4cxa4c2a2b40，由题意知解得b4a4，所以ba，得e.答案：(，)16(2014六安二模)若圆x2y24与圆x2y22ay6
9、0(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：x2y22ay6与x2y24两式相减得y，联立方程组消去y得x2(a0)，所以22，解得a1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(2014十堰二模)(本小题满分12分)已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程解：将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2，解得a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和
10、圆的性质，得解得a7或a1，故所求直线方程为7xy140或xy20.18(2014湛江二模)(本小题满分12分)已知双曲线1(0ab)的实轴长为4，截直线yx2所得弦长为20.求：(1)双曲线的方程；(2)渐近线方程解：(1)2a4，a2，由得(b24)x216x164b20，|x1x2|，又弦长为|x1x2|20，|x1x2|20，20，解得b25或b24(舍去)，双曲线的方程为1.(2)双曲线的方程为1，渐近线方程为yx.19(2014黑龙江部分重点中学联考)(本小题满分12分)已知抛物线y2x2上有不同的两点A、B关于直线yxm对称，试求实数m的取值范围解：由已知，设直线AB的方程为yx
11、b，代入y2x2，消去y得2x2xb0，故142b0，b.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点为(x0、y0)，则又(x0，y0)在直线yxm上，bm，mb，m的取值范围为(，)20(2014东北四校一模)(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线(1)若直线l的倾斜角为且恰过椭圆的右顶点，求椭圆的离心率的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于点B，过A，B，F三点的圆恰好与直线xy30相切，求椭圆的方程解：(1)令直线l与圆O相切于点P，椭圆的右顶点为G，在OPG中，GOP3
12、0，OGP60，则，即，又1e2，则e21，e.(2)由(1)知e，则，令a24m，b23m(m0)，则椭圆的方程为1，A(0，)，F(，0)，kAF，AFB60.又|AF|2，|FB|4，B(3，0)又FAB90，过A、B、F三点的圆的圆心Q为FB的中点且其半径为2，Q(，0)，依题意知2，m1，椭圆C的方程为1.21(2014临沂期末)(本小题满分12分)设x，yR，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点设，是否存在这样的直线l，使得
13、四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由解：(1)axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8，点M(x，y)到两定点F1(0，2)，F2(0,2)的距离之和为8，点M的轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，易知a4，c2，b212，故轨迹C的方程为1.(2)直线l过y轴上的点(0,3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时0，P与O重合，与四边形OAPB是菱形矛盾，故直线l的斜率存在，设其方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得(43k2)x218kx210，此时(18k)24(43k2)(21)0恒成立，且x1x2，y1y2k(
14、x1x2)6.，四边形OAPB是平行四边形若四边形OAPB是菱形，则|.(x1，y1)，(x2，y2)，xyxy，xxyy0，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，又k，(k21)(x1x2)6k0，解得k0，存在这样的直线l，使四边形OAPB为菱形，且其方程为y3.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。22(2014伽师二中二模)(本小题满分10分)已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a(x)iyj，b(x)iyj，且满足bi|a|.(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)过点(，0)的直线l交上述轨迹于A，B两点，且|AB|8，求直
15、线l的方程解：(1)bi(x)i2yijx，x，化简得y24x.(2)设l：xty，联立得y24ty120，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，结合|AB|8得|y1y2|8，得t1，所以l为xy0或xy0.23(2014南昌一模)(本小题满分10分)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交，截得的弦长为4，求l的方程解：可设出直线l的方程为y5k(x5)，联立圆的方程得出一个一元二次方程，根据距离公式及根与系数的关系，由弦长为4得2k25k20，得l的方程为x2y50或2xy50.也可画出图象，利用图象性质及勾股定理解答24(2014南阳一中模拟)(本小题满分10分)已知动点M到定点A(3,0)与定点O(0,0)的距离之比为k(k0)(1)求动点M的轨迹方程，并讨论动点M的轨迹；(2)设动点M组成的集合为A，集合B(x，y)|yx，若AB，求k的取值范围解：(1)设M(x，y)，则k，化简得(k21)x2(k21)y26x90，当k1时，为一条直线；当k1时，为以(，0)为圆心，以|为半径的圆(2)当k1时，点M的轨迹是圆，由AB，则圆心到直线yx的距离大于或等于半径，且圆心在yx的下方，列出不等式组得0k.当k1时，AB不成立，可知k的取值范围为0k.
