1、第五章 平面向量与复数 第一节平面向量的概念及其线性运算名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量 长度为_的向量；其方向是任意的记作_大小方向长度模00名称定义备注单位向量 长度等于的向量非零向量 a 的 单位向量为 a|a|平行向量 方向或的非零向量共线向量_的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量或共线相等向量 长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度且方向的向量 0 的相反向量为 01 个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_法则_法则(1)交换律：
2、ab_；(2)结合律：(ab)c_三角形平行四边形baa(bc)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差_法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_；(2)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a_(a)_；()a_；(ab)_三角形相同相反|a|()aa aab0答案：(1)AB(2)0ba2已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab与(b3a)共线，则 _.答案：133.(教材习题改编)如图，设ABC 三条边的中线 AD，BE，CF 相交于点 G，则下列三个向量：ABCBCA，GAGBCG，B
3、F CDEA中，等于零向量的是_(填序号)解析：中，原式ABBCCA0.中，原式GAGBGCGCGC0.中，原式BF DC AE12(BAACBC)BC0.所以三个向量中等于零向量的是.答案：1在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系小题纠偏1已知a，b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有_(填序号)ab，|a|b|，a与b方向相反，a0或b0，a，b都是单位向量解析：由向量共线的定义知填.答案：2对于向量a与b，下列说法正确的是_(填序号)如果a
4、与b共线，则ab或ab；如果a与b共线，则a与b平行；如果a与b共线，则存在实数，使得ab.解析：a 与 b 共线不能确定其长度关系，故错误；当a0 而 b0 时，这样的 不存在，故错误；向量平行和共线是相同的概念，故正确答案：3若菱形ABCD的边长为2，则|ABCBCD|_.解析：|ABCBCD|ABBCCD|AD|2.答案：2解析：平行向量的方向也可能相反，所以错误；只有零向量与任意向量都平行，所以正确；显然正确；共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以错误答案：2下列命题中正确的是_若 ab，则|a|b|；若|a|b|，则 a0)，使kab(akb)，即kabakb.(
5、k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，k0，k10，解得k1，1或k1，1，又0，k1.由题悟法共线向量定理的 3 个应用(1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数，使 ab，则 a 与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数，使ABAC，则 A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE 23 AD，ABa，ACb.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长 AD 到 G，使AD12AG，连结 BG，CG，得到ABGC，所以AGab，AD12AG12(ab)，AE23AD13(ab)，AF 12AC12b，BEAE AB13(ab)a13(b2a)，BF AF AB12ba12(b2a)(2)证明：由(1)可知BE23BF，又因为BE，BF 有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(二十五)”(单击进入电子文档)