1、2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三（上）12月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知R是实数集，则NRM=（）A（1，2）B0，2CD1，22设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A13iB13iC1+3iD1+3i3已知平面向量，|=1，|=，|2|=，则向量，的夹角为（）ABCD4下列命题中，真命题是（）AxR，2xx2BxR，ex0C若ab，cd，则acbdDac2bc2是ab的充分不必要条件5已知实数x，y满足，则z=（x1）2+y2的最大值是（）A1B9C2D116将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一
2、条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=7函数y=（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则loga+loga=（）A1B2C3D48已知函数f（x）=ax2ex，f（1）=4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A（3，2）B（1，0）C（0，1）D（4，5）9若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A3B4C5D610已知函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f（x）是f（x）的导函数，则（）Af（x0）0Bf（x0）=0Cf（x0）0Df（x0）的符号无法确定二、填空题：本大题共5小题
3、，每小题5分，共25分.11已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为12将函数f（x）=sinx（0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是13已知等比数列an的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则an=14已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥SABC的体积为15若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x1，0时，f（x）=x2+1，如果函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，则实数a的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知向量，函数
4、（）若，求cos2的值；（）若，求函数f（x）的值域17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n+12（nN*）（） 求数列an的通项公式；（） 令bn=nan，求数列bn的前n项和Tn18已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（x+2）ex2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828）（） 当x0时，求f（x）的解析式；（） 若x0，2时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围19如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，ABBC，AFAC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2（）当GB=GF时，求证：EG平面ABC；（）求二面角EBFA的
5、余弦值；（）是否存在点G满足BF平面AEG？并说明理由20已知数列an的首项a1=2，且an=2an11（nN*，N2）（1）求证：数列an1为等比数列；并求数列an的通项公式；（2）求数列nann的前n项和Sn21已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2a1）ex，a2（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三（上）12月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，
6、共50分.1已知R是实数集，则NRM=（）A（1，2）B0，2CD1，2【考点】交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出NCRM【解答】解：M=x|1=x|x0，或x2，N=y|y=y|y0 ，故有 NCRM=y|y0 x|x0，或x2=0，+）（，0）（2，+）=0，2，故选 B2设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A13iB13iC1+3iD1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求【解答】解：z=，则=1+
7、3i故选：C3已知平面向量，|=1，|=，|2|=，则向量，的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出【解答】解：设向量，的夹角为，|=1，|=，|2|=，|2|2=|2+4|24|cos=5，即1+4241cos=5，即cos=，=，故选：C4下列命题中，真命题是（）AxR，2xx2BxR，ex0C若ab，cd，则acbdDac2bc2是ab的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任
8、意的x，都有ex0，故错误；C若ab，cd，根据同向可加性只能得出a+cb+d，故错误；Dac2bc2，可知c0，可推出ab，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确故选D5已知实数x，y满足，则z=（x1）2+y2的最大值是（）A1B9C2D11【考点】简单线性规划【分析】画出平面区域，利用z=（x1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到D 的距离最大，所以z=（x1）2+y2的最大值z=（11）2+32=9；故选B6将函数y=sin（2x
9、）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程【解答】解：将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin2（x+）=sin（2x+）令2x+=k+，kz，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A7函数y=（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则loga+loga=（）A1B2C3D4【考点】函数的值
10、域；函数的定义域及其求法【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a1，则当x=0时，y=1，即y=1，即a1=1，则a=2，则loga+loga=loga（）=log28=3，故选：C8已知函数f（x）=ax2ex，f（1）=4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A（3，2）B（1，0）C（0，1）D（4，5）【考点】二分法求方程的近似解【分析】求导数，利用f（1）=4，求出a，再利用零点存在定理，即可求出函数y=f（x）的零点所在的区间【解答】解：f（x）=ax2ex，f（1）=4，2ae1=
11、4，a=2，f（x）=（2）x2ex，f（1）=20，f（0）=10，函数y=f（x）的零点所在的区间是（1，0），故选：B9若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A3B4C5D6【考点】二项式系数的性质【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）nr（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）nr（）r=Cnr=Cnr令6nr=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C10已知函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2
12、成等差数列，f（x）是f（x）的导函数，则（）Af（x0）0Bf（x0）=0Cf（x0）0Df（x0）的符号无法确定【考点】导数的运算【分析】由已知存在x1ax2，f（a）=0，解得a=，由已知得，从而能求出【解答】解：函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），存在x1ax2，f（a）=0，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2x10，f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，x0a，又xx0，又xx0时，f（x）递减，故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0
13、时，f（x）=2x，则f（log49）的值为【考点】函数的值【分析】由奇函数的性质得当x0时，f（x）=，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f（log49）的值【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x，当x0时，f（x）=，f（log49）=故答案为：12将函数f（x）=sinx（0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是2【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】求出图象变换后所得图象对应的函数为y=sin（x），再由所得图象经过点，可得=k，由此求得的最小值【解答】解：将函数y=sinx（其
14、中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点可得sin=sin（）=0，=k，kZ又0故的最小值是2，故答案为：213已知等比数列an的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则an=【考点】等比数列的前n项和【分析】设公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程，化简后求出q，由条件和等比数列的前n项和公式列出方程，化简后求出a1，由等比数列的通项公式1求出an【解答】解：设公比为q，因为4a1、a2、a2成等差数列，所以2a2=4a1+a2，即a2=2a1，则q=2，由S6=21得，解得a1=，所以an=，故答案为：14已知球的直径SC=4
15、，A，B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥SABC的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，SAC=SBC=90，说明过O，A，B的平面与SC垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥SABC的体积【解答】解：如图，由题意ASC，BSC均为等腰直角三角形，求出SA=AC=SB=BC=2，SOA=SOB=90，所以SC平面ABO又AB=2，ABO为正三角形，则SABO=22=，进而可得：V SABC=V CAOB+V SAOB=故答案为：15若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x1，0时，f（
16、x）=x2+1，如果函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，则实数a的值为82【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由函数f（x）满足f（x+1）=f（x），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案【解答】解：由f（x+1）=f（x1），则f（x）=f（x2），故函数f（x）为周期为2的周期函数函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，f（x）a|x|=0在（，0）上有四个解，即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（，0）上有4个交点，如图所示：又当x1，0时，f（x）=x2+1，当直线y=ax与y=（x+4）2
17、+1相切时，即可在（，0）上有4个交点，x2+（8a）x+15=0，=（8a）260=0a0，a=82故答案为：82三、解答题：本大题共6小题，共75分.16已知向量，函数（）若，求cos2的值；（）若，求函数f（x）的值域【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（I）化简f（x），根据求出sin，代入二倍角公式；（II）根据x的范围求出2x的范围，结合正弦函数的图象与性质得出【解答】解：（），f（）=2sin（+）=2sin=，sin=cos2=12sin2=1=（）由，则，当2x=时，f（x）取得最小值，当2x=时，f（x）取得最大值2f（x）的值域为
18、17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n+12（nN*）（） 求数列an的通项公式；（） 令bn=nan，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（）当n=1时，求得首项；当n2时，根据已知条件Sn=2n+12（nN*）推知，易得数列an的通项公式；（）求出bn，运用分组求和和错位相减求和【解答】解：（）由，当n=1时，当n2，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以（） 由（），则，所以，则=（1n）2n+12所以18已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（x+2）ex2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828）（） 当x0时，求f（x）的解析式；（） 若x
19、0，2时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值【分析】（） 利用函数的奇偶性转化求解函数的解析式即可（） 通过当x=0时，当0x2时，当0x1时，求出函数的零点，极值，然后求解实数m的取值范围【解答】解：（） 当x0时，f（x）=（x+2）ex2，当x0时，则x0时，f（x）=（x+2）ex2，由于f（x）奇函数，则f（x）=f（x）=（x+2）ex2，故当x0时，f（x）=（x2）ex+2（） 当x=0时，f（0）=0当0x2时，f（x）=（x2）e
20、x+2，f（x）=（x1）ex，由f（x）=0，得x=1，当0x1时，f（x）0，当1x2时，f（x）0，则f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增则f（x）在x=1处取得极小值f（1）=2e，又f（0）=0，f（2）=2，故当0x2时，f（x）2e，2综上，当x0，2时，f（x）2e，2，所以实数m的取值范围是2e，219如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，ABBC，AFAC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2（）当GB=GF时，求证：EG平面ABC；（）求二面角EBFA的余弦值；（）是否存在点G满足BF平面AEG？并说明理由【考点】用空间向量
21、求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG平面ABC；（）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角EBFA的余弦值；（）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论【解答】解：（）取AB中点D，连接GD，CD，又GB=GF，所以因为，所以，四边形GDCE是平行四边形，所以CDEG因为EG平面ABC，CD平面ABC所以EG平面ABC（）因为平面ABC平面ACEF，平面ABC平面ACEF=AC，且AFAC，所以AF平面ABC，所以AFAB，AFBC因为BCAB，所以BC平面ABF如图，以A为原点，建立空间
22、直角坐标系Axyz则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即令y=1，则z=2，x=2，所以n=（2，1，2），所以，由题知二面角EBFA为钝角，所以二面角EBFA的余弦值为（）因为，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF平面AEG20已知数列an的首项a1=2，且an=2an11（nN*，N2）（1）求证：数列an1为等比数列；并求数列an的通项公式；（2）求数列nann的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）已知通项公式变形，利用等比数列的性质判断得证，求出
23、数列an的通项公式即可；（2）根据题意表示出数列nann的前n项和Sn，利用数列的递推式确定出Sn通项公式即可【解答】证明：（1）由an=2an11，得an1=2（an11），数列an1构成首项为a11=1，公比q=2的等比数列，an1=2n1，即an=2n1+1；解：（2）nann=n2n1+nn=n2n1，Sn=120+221+322+n2n1，2Sn=121+222+323+n2n，得：Sn=2021222n1+n2n=+n2n=n2n+12n=（n1）2n+121已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2a1）ex，a2（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间
24、上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（I）若a=0，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；（II）利用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论【解答】解：（1）当a=0时：f（x）=（xlnx+1）ex，（x0）故f（x）=（lnx+1+xlnx1）ex=lnx（
25、x+1）ex，当x=1时：f（x）=0，当x1时：f（x）0，当x1时：f（x）0故f（x）的减区间为：（0，1），增区间为（1，+）（2）f（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，故g（x）=，g“（x）=，显g（1）=0，又当x1时：g（x）0当x1时：g（x）0故g（x）min=g（1）=2+a，a2，g（x）g（x）min=2+a0故g（x）在区间（）上单调递增，注意到：当x+时，g（x）+，故g（x）在（）上的零点个数由g（）=（a1）（a+1+）的符号决定当g（）0，即：2或a1时：g（x）在区间（）上无零点，即f（x）无极值点当g（
26、）0，即：1时：g（x）在区间（）上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点综上：当2或a1时：f（x）在（）上无极值点当：1时：f（x）在（）上有唯一极值点（3）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，由（2）可知：1时不妨设极值点为x0，则有：（*）同时成立联立得：lnx0+a+1=0，即x代入（*）可得e（a+1）+（a+1）a2=0令t=（a+1），则t，h（t）=ett（t+1）2，则h（t）=et2t3，h（t）=et2，当 t时，（）故h（t）在t上单调递减又h（2）=e2+10，h（）=故h（t）在t上存在唯一零点t0即当t（2，t0）时，h（t）0，h（t）单调递增当t时，h（t）0，h（t）单调递减因为h（2）=e2+10，h（）=故h（t）在t（2，t0）上无零点，在t上有唯一零点由观察易得h（0）=0，故a+1=0，即：a=1综上可得：存在唯一的a=1使得f（x）在区间（）上与x轴相切2017年2月11日